一元函数的导数及其应用

解：

f'(2) = lim_Δx→0 [f(2 + Δx) - f(2)] / Δx

= lim_Δx→0 [(2 + Δx)² - 4] / Δx

= lim_Δx→0 [4 + 4Δx + (Δx)² - 4] / Δx

= lim_Δx→0 (4Δx + (Δx)²) / Δx

= lim_Δx→0 (4 + Δx) = 4

解：

y' = 3x²，在 x = 1 处 y' = 3

切线方程为 y - 1 = 3(x - 1)，即 y = 3x - 2

解：

令 u = 2x + 1，则 y = sin u

y' = (sin u)' · (2x + 1)' = cos u · 2

= 2cos(2x + 1)

解：

令 u = sin(x²)，则 y = e^u

令 t = x²，则 u = sin t

y' = (e^u)' · (sin t)' · (x²)'

= e^u · cos t · 2x

= 2x · cos(x²) · e^sin(x²)

解：

y' = (x²)' · e^x + x² · (e^x)' + (ln x)'

= 2x · e^x + x² · e^x + 1/x

= e^x(x² + 2x) + 1/x

解：

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

令 f'(x) = 0，得 x = -1 或 x = 1

单调递增区间：(-∞, -1) 和 (1, +∞)

单调递减区间：(-1, 1)

极大值：f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4

极小值：f(1) = 1 - 3 + 2 = 0

解：

由例题 6，驻点 x = -1 和 x = 1 均在 [-3, 3] 内。

f(-3) = -27 + 9 + 2 = -16

f(-1) = 4（极大值）

f(1) = 0（极小值）

f(3) = 27 - 9 + 2 = 20

比较：-16 < 0 < 4 < 20

最大值为 f(3) = 20，最小值为 f(-3) = -16

证明：

令 f(x) = e^x - 1 - x，则 f(0) = 0

f'(x) = e^x - 1

当 x > 0 时，e^x > 1，所以 f'(x) > 0

因此 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

当 x > 0 时，f(x) > f(0) = 0，即 e^x - 1 - x > 0

故 e^x ≥ 1 + x（等号在 x = 0 时成立）。证毕。

解：

f'(x) = 3x² - 3a = 3(x² - a) = 3(x - √a)(x + √a)

当 x < -√a 或 x > √a 时，f'(x) > 0，f(x) 递增

当 -√a < x < √a 时，f'(x) < 0，f(x) 递减

极大值 f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) + 1 = -a√a + 3a√a + 1 = 2a√a + 1

极小值 f(√a) = (√a)³ - 3a√a + 1 = a√a - 3a√a + 1 = -2a√a + 1

因为 a > 0，所以 2a√a + 1 > 0，极大值恒正。

对于极小值 -2a√a + 1：

• 当 -2a√a + 1 > 0，即 0 < a < (1/2)^2/3 时，极小值也为正，f(x) 只有一个零点（在左侧递增区间）
• 当 -2a√a + 1 = 0，即 a = (1/2)^2/3 时，极小值为 0，f(x) 有两个零点
• 当 -2a√a + 1 < 0，即 a > (1/2)^2/3 时，极大值正，极小值负，f(x) 有三个零点

解：

f'(x) = 3x² - 2ax

f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增，等价于 f'(x) ≥ 0 在 (0, +∞) 上恒成立。

即 3x² - 2ax ≥ 0，即 x(3x - 2a) ≥ 0 对 x > 0 恒成立。

因为 x > 0，所以 3x - 2a ≥ 0，即 a ≤ 3x/2 对 x > 0 恒成立。

3x/2 在 (0, +∞) 上的下确界为 0（但取不到），所以 a ≤ 0。

（当 a = 0 时，f'(x) = 3x² ≥ 0，满足条件。）

解：

f(x) ≥ 0 恒成立 ⟺ f(x)_min ≥ 0

f'(x) = e^x - a

情况一：当 a ≤ 0 时，f'(x) = e^x - a > 0 恒成立，f(x) 单调递增。

lim_x→-∞ f(x) = 0 - a·(-∞) - 1 = +∞（a < 0时），而 f(x) 递减趋向 -∞，不满足。

（实际上 a ≤ 0 时需更仔细分析。当 a < 0 时，x → -∞，e^x → 0，-ax → +∞，所以 f(x) → +∞；x → +∞ 时也 → +∞。需要求最小值。）

当 a ≤ 0 时，f'(x) = e^x - a > 0，f(x) 单调递增。lim_x→-∞ f(x) = -1，但取不到。f(x) > -1 恒成立但不能保证 f(x) ≥ 0。

实际上，a ≤ 0 时 f(x) 递增且 lim_x→-∞ f(x) = -1，f(x) 可取到接近 -1 的值，不满足 f(x) ≥ 0。

情况二：当 a > 0 时，令 f'(x) = 0，得 e^x = a，x = ln a。

当 x < ln a 时，f'(x) < 0；当 x > ln a 时，f'(x) > 0。

所以 x = ln a 是极小值点（也是最小值点）。

f(ln a) = e^{ln a} - a · ln a - 1 = a - a ln a - 1

令 a - a ln a - 1 ≥ 0，即 a(1 - ln a) ≥ 1

令 g(a) = a(1 - ln a)，g'(a) = 1 - ln a - 1 = -ln a

g'(a) = 0 时 a = 1，g(1) = 1

g(a) 在 (0, 1) 递增，在 (1, +∞) 递减，最大值 g(1) = 1

所以 g(a) ≤ 1 恒成立，等号在 a = 1 时取得。

因此 g(a) ≥ 1 只有 a = 1 时成立。

a 的取值范围为 {1}，即 a = 1。