12.1 直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角
直线的倾斜角
当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上的方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角，记作 α。
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角 α = 0°。
因此，倾斜角的取值范围为 α ∈ [0°, 180°)。
二、斜率
直线的斜率
倾斜角 α ≠ 90° 时，把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作 k：
当 α = 90° 时，直线斜率不存在。
斜率公式（过两点）
经过两点 P₁(x₁, y₁) 和 P₂(x₂, y₂)（x₁ ≠ x₂）的直线的斜率为：
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
三、斜率与倾斜角的关系
| 倾斜角 α | α = 0° | α ∈ (0°, 90°) | α = 90° | α ∈ (90°, 180°) |
|---|---|---|---|---|
| 斜率 k | k = 0 | k > 0 | 不存在 | k < 0 |
| 直线特征 | 水平向右 | 从左下到右上 | 竖直 | 从左上到右下 |
重要结论：倾斜角 α 越大，斜率 k 不一定越大。当 α 从 0° 增大到 90° 时，k 从 0 增大到 +∞；当 α 从 90° 增大到 180° 时，k 从 -∞ 增大到 0。因此斜率 k 是关于倾斜角 α 的增函数仅在 (0°, 90°) 或 (90°, 180°) 上成立。
四、两直线的位置关系与斜率
两直线平行
设直线 l₁ 和 l₂ 的斜率分别为 k₁ 和 k₂（斜率都存在），则：
如果两直线的斜率都不存在，那么它们都与 x 轴垂直，也互相平行。
两直线垂直
设直线 l₁ 和 l₂ 的斜率分别为 k₁ 和 k₂（斜率都存在），则：
如果一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在，则两直线也垂直。
例 1：求倾斜角
已知直线 l 经过点 A(1, 2) 和 B(3, -2)，求直线 l 的倾斜角。
解：
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-2 - 2) / (3 - 1) = -4/2 = -2
因为 k < 0，所以倾斜角 α ∈ (90°, 180°)。
tanα = -2，所以 α = 180° - arctan2 ≈ 180° - 63.4° = 116.6°
（或写成 α = π - arctan2）
12.2 直线的方程
一、直线方程的五种形式
| 名称 | 方程 | 条件 | 适用范围 | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| 点斜式 | y - y₁ = k(x - x₁) | 斜率 k 存在，过点 (x₁, y₁) | 不包含垂直于 x 轴的直线 | 已知一点和斜率 |
| 斜截式 | y = kx + b | 斜率 k 存在，y 轴截距为 b | 不包含垂直于 x 轴的直线 | 可直接读出斜率和截距 |
| 两点式 | (y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁) | 过两点 (x₁,y₁) 和 (x₂,y₂)，x₁≠x₂，y₁≠y₂ | 不包含水平和垂直的直线 | 已知两点求方程 |
| 截距式 | x/a + y/b = 1 | x 轴截距为 a，y 轴截距为 b，a≠0，b≠0 | 不包含过原点和与坐标轴平行的直线 | 可直接读出两截距 |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 | A, B 不同时为 0 | 适用于所有直线 | 最通用的形式 |
二、各种形式的互化
互化关系：
- 点斜式 → 斜截式：展开整理即可，y = kx + (y₁ - kx₁)，b = y₁ - kx₁
- 斜截式 → 一般式：kx - y + b = 0，即 A = k，B = -1，C = b
- 一般式 → 斜截式：当 B ≠ 0 时，y = (-A/B)x + (-C/B)，k = -A/B，b = -C/B
- 截距式 → 一般式：bx + ay - ab = 0
- 一般式 → 截距式：当 A、B、C 均不为 0 时，x/(-C/A) + y/(-C/B) = 1
例 2：求直线方程
求满足下列条件的直线方程：
(1) 过点 (2, -1)，斜率为 3；
(2) 过点 (1, 2) 和 (3, 5)；
(3) x 轴截距为 2，y 轴截距为 -3。
解：
(1) 点斜式： y - (-1) = 3(x - 2)，即 y = 3x - 7
(2) k = (5-2)/(3-1) = 3/2
点斜式：y - 2 = (3/2)(x - 1)，即 3x - 2y + 1 = 0
(3) 截距式： x/2 + y/(-3) = 1，即 3x - 2y - 6 = 0
12.3 两直线的位置关系
一、交点坐标
两直线的交点
设直线 l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0，l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0，则两直线的交点坐标可通过联立方程组求得。
当 A₁B₂ - A₂B₁ ≠ 0 时，两直线有唯一交点；当 A₁B₂ - A₂B₁ = 0 时，两直线平行或重合。
二、夹角公式
两直线的夹角
设两条直线 l₁ 和 l₂ 的斜率分别为 k₁ 和 k₂（都存在且 k₁k₂ ≠ -1），两直线的夹角为 θ（θ ∈ [0°, 90°]），则：
三、点到直线的距离公式
点到直线的距离（重要公式）
点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为：
记忆口诀：将点的坐标代入直线方程，取绝对值，除以 A² + B² 的算术平方根。
四、两平行线间的距离
两平行线间的距离
设两平行直线 l₁: Ax + By + C₁ = 0，l₂: Ax + By + C₂ = 0（x 和 y 的系数相同），则两平行线间的距离为：
注意：使用此公式前，必须先将两直线方程化为一般式，且 x、y 的系数要完全一致。
例 3：点到直线的距离
求点 P(3, -2) 到直线 3x - 4y + 5 = 0 的距离。
解：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
= |3×3 + (-4)×(-2) + 5| / √(9 + 16)
= |9 + 8 + 5| / √25
= 22 / 5 = 4.4
例 4：两平行线间的距离
求两平行直线 3x + 4y - 10 = 0 和 6x + 8y + 5 = 0 之间的距离。
解：
先将第二条直线化为与第一条系数一致的形式：6x + 8y + 5 = 0 等价于 3x + 4y + 5/2 = 0
d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)
= |-10 - 5/2| / √(9 + 16)
= |-25/2| / 5
= (25/2) / 5 = 5/2 = 2.5
例 5：两直线的交点与夹角
求直线 l₁: 2x - y + 3 = 0 与 l₂: x + y - 5 = 0 的交点坐标和夹角。
解：
求交点：联立方程组
2x - y + 3 = 0 ... ①
x + y - 5 = 0 ... ②
① + ②：3x - 2 = 0 → x = 2/3
代入 ②：2/3 + y - 5 = 0 → y = 13/3
交点坐标为 (2/3, 13/3)
求夹角：
l₁ 的斜率 k₁ = 2，l₂ 的斜率 k₂ = -1
tanθ = |(k₂ - k₁) / (1 + k₁k₂)| = |(-1 - 2) / (1 + 2×(-1))| = |-3 / (-1)| = 3
所以 θ = arctan3 ≈ 71.6°
12.4 圆的方程
一、圆的标准方程
圆的标准方程
以点 C(a, b) 为圆心，r（r > 0）为半径的圆的标准方程为：
特别地，以原点为圆心的圆的方程为 x² + y² = r²。
二、圆的一般方程
圆的一般方程
将圆的标准方程展开，可得圆的一般方程：
其中：
- 圆心：C(-D/2, -E/2)
- 半径：r = √(D² + E² - 4F) / 2
- 当 D² + E² - 4F > 0 时，方程表示一个圆
- 当 D² + E² - 4F = 0 时，方程表示一个点（退化为点圆）
- 当 D² + E² - 4F < 0 时，方程无实数解（不表示任何图形）
三、标准方程与一般方程的互化
标准 → 一般
(x-a)² + (y-b)² = r²
展开：x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0
即 D = -2a，E = -2b，F = a² + b² - r²
一般 → 标准（配方法）
x² + Dx + y² + Ey = -F
(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² - 4F) / 4
圆心 (-D/2, -E/2)，r = √(D²+E²-4F) / 2
四、求圆的方程的方法
根据条件设出圆的方程（标准式或一般式），将已知条件代入，列方程组求解参数。
适用场景：已知圆上的三个点，或圆心和半径的相关条件。
利用圆的几何性质（如弦的垂直平分线过圆心、切线垂直于半径等），先确定圆心和半径，再写出方程。
适用场景：涉及弦、切线等几何条件。
例 6：求圆的方程
已知圆经过点 A(1, 2)、B(3, 4)，且圆心在直线 y = x 上，求圆的方程。
解：
设圆心 C(a, b)，因为圆心在 y = x 上，所以 b = a，圆心为 C(a, a)。
圆过 A(1, 2) 和 B(3, 4)，所以 |CA|² = |CB|²：
(a-1)² + (a-2)² = (a-3)² + (a-4)²
a² - 2a + 1 + a² - 4a + 4 = a² - 6a + 9 + a² - 8a + 16
2a² - 6a + 5 = 2a² - 14a + 25
8a = 20 → a = 5/2
圆心 C(5/2, 5/2)，r² = (5/2 - 1)² + (5/2 - 2)² = (3/2)² + (1/2)² = 9/4 + 1/4 = 5/2
圆的方程为 (x - 5/2)² + (y - 5/2)² = 5/2
化为一般式：x² + y² - 5x - 5y + 10 = 0
12.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
判断方法：设圆的圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则：
| 位置关系 | 几何条件 | 交点个数 | 代数方法 |
|---|---|---|---|
| 相离 | d > r | 0 个 | 联立方程组 Δ < 0 |
| 相切 | d = r | 1 个 | 联立方程组 Δ = 0 |
| 相交 | d < r | 2 个 | 联立方程组 Δ > 0 |
弦长公式
当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则弦长为：
推导：由勾股定理，半弦长 = √(r² - d²)，所以弦长 = 2√(r² - d²)。
二、圆与圆的位置关系
判断方法：设两圆的圆心距为 d，半径分别为 r₁ 和 r₂（设 r₁ ≥ r₂），则：
| 位置关系 | 几何条件 | 公切线条数 | 交点个数 |
|---|---|---|---|
| 外离 | d > r₁ + r₂ | 4 条 | 0 |
| 外切 | d = r₁ + r₂ | 3 条 | 1 |
| 相交 | r₁ - r₂ < d < r₁ + r₂ | 2 条 | 2 |
| 内切 | d = r₁ - r₂ | 1 条 | 1 |
| 内含 | d < r₁ - r₂ | 0 条 | 0 |
三、圆的切线方程
过圆上一点的切线方程
设圆 x² + y² = r² 上一点 P(x₀, y₀)，则过 P 点的切线方程为：
推广：圆 (x-a)² + (y-b)² = r² 上一点 P(x₀, y₀) 处的切线方程为：
过圆外一点的切线方程
设圆外一点 P(x₀, y₀)，圆 (x-a)² + (y-b)² = r²，求切线方程的方法：
- 方法一（几何法）：设切线斜率为 k，利用圆心到切线距离等于半径，列方程求 k
- 方法二（代数法）：设切线方程 y - y₀ = k(x - x₀)，代入圆的方程，令 Δ = 0 求 k
注意：过圆外一点可作两条切线，不要遗漏斜率不存在的情况。
例 7：直线与圆的位置关系
判断直线 l: x - y + 1 = 0 与圆 C: (x-1)² + (y-2)² = 4 的位置关系。若相交，求弦长。
解：
圆心 C(1, 2)，半径 r = 2
圆心到直线的距离：d = |1 - 2 + 1| / √(1 + 1) = |0| / √2 = 0
因为 d = 0 < r = 2，所以直线与圆相交。
弦长 = 2√(r² - d²) = 2√(4 - 0) = 4
（实际上直线过圆心，弦长等于直径）
例 8：圆与圆的位置关系
判断圆 C₁: x² + y² = 4 与圆 C₂: (x-3)² + (y-4)² = 9 的位置关系。
解：
圆 C₁ 的圆心 C₁(0, 0)，半径 r₁ = 2
圆 C₂ 的圆心 C₂(3, 4)，半径 r₂ = 3
圆心距 d = √(3² + 4²) = √25 = 5
r₁ + r₂ = 2 + 3 = 5
因为 d = r₁ + r₂ = 5，所以两圆外切。
例 9：求切线方程
求过点 P(3, 1) 且与圆 x² + y² = 4 相切的直线方程。
解：
先判断点 P 的位置：3² + 1² = 10 > 4，所以 P 在圆外，有两条切线。
设切线斜率为 k：切线方程为 y - 1 = k(x - 3)，即 kx - y + 1 - 3k = 0
圆心 (0, 0) 到切线距离等于半径 2：
|0 - 0 + 1 - 3k| / √(k² + 1) = 2
|1 - 3k| = 2√(k² + 1)
两边平方：(1 - 3k)² = 4(k² + 1)
1 - 6k + 9k² = 4k² + 4
5k² - 6k - 3 = 0
k = (6 ± √(36 + 60)) / 10 = (6 ± √96) / 10 = (6 ± 4√6) / 10 = (3 ± 2√6) / 5
两条切线方程为：
y - 1 = [(3 + 2√6)/5](x - 3) 和 y - 1 = [(3 - 2√6)/5](x - 3)
例 10：综合应用
已知圆 C: x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标和半径。若直线 l: y = kx + 2 与圆 C 相交，且截得的弦长为 4，求 k 的值。
解：
第一步：化为标准方程
x² - 4x + y² - 6y = -9
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 = -9
(x - 2)² + (y - 3)² = 4
圆心 C(2, 3)，半径 r = 2
第二步：求 k
直线 l: kx - y + 2 = 0
圆心到直线的距离：d = |2k - 3 + 2| / √(k² + 1) = |2k - 1| / √(k² + 1)
弦长 = 2√(r² - d²) = 4
所以 r² - d² = 4 → 4 - d² = 4 → d² = 0
d = 0，即 |2k - 1| / √(k² + 1) = 0
2k - 1 = 0 → k = 1/2
（此时弦长等于直径 4，直线过圆心）
本章知识总结
核心公式
- 斜率： k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = tanα
- 点斜式： y - y₁ = k(x - x₁)
- 一般式： Ax + By + C = 0
- 点到直线距离： d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
- 平行线距离： d = |C₁-C₂|/√(A²+B²)
- 圆的标准式： (x-a)²+(y-b)² = r²
- 弦长公式： |AB| = 2√(r²-d²)
方法技巧
- 求直线方程：根据已知条件选择最合适的形式
- 判断位置关系：直线与圆用距离 d 与半径 r 比较
- 圆与圆位置关系：用圆心距 d 与半径之和差比较
- 求切线：注意检验斜率不存在的情况
- 综合问题：善用数形结合的思想，将几何问题代数化
- 圆的方程求解：优先考虑待定系数法和配方法