必修二 · 第十章

概率

概率是研究随机现象规律性的数学学科，是统计学的基础

10.1 随机事件与概率的概念

一、随机现象与确定性现象

确确定性现象

在一定条件下，必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。

例如：

  • 太阳从东方升起（必然发生）
  • 在标准大气压下，水加热到 100°C 会沸腾（必然发生）
  • 没有电，电灯不可能发光（必然不发生）
随随机现象

在一定条件下，具有多种可能结果，但事先无法确定哪一种结果会出现的现象称为随机现象。

例如：

  • 掷一枚硬币，可能出现正面也可能出现反面
  • 明天可能下雨也可能不下雨
  • 购买一张彩票可能中奖也可能不中奖

二、随机试验与样本空间

随机试验

对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用 E 表示。随机试验具有以下特点：

基本事件与样本空间

随机试验中每一个可能出现的不可再分的结果称为基本事件（也叫样本点），记作 ω。

所有基本事件构成的集合称为样本空间，记作 Ω。

随机事件是样本空间 Ω 的一个子集，通常用大写字母 A, B, C 等表示。

例 1：写出样本空间

掷一枚骰子，观察朝上的点数。写出样本空间和事件 A = "点数为偶数"。

解：

样本空间 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

基本事件有 6 个：{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

事件 A = "点数为偶数" = {2, 4, 6}

三、事件的分类

必必然事件

在一定条件下一定会发生的事件，即样本空间 Ω 本身。

P(Ω) = 1

不不可能事件

在一定条件下一定不会发生的事件，即空集 ∅。

P(∅) = 0

随随机事件

可能发生也可能不发生的事件，是 Ω 的真子集。

0 < P(A) < 1

四、频率与概率

频率的定义

在相同的条件下，进行了 n 次试验，事件 A 发生的次数 m 称为事件 A 的频数，比值 m/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn(A) = m/n。

概率的定义

对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数 P(A) 上，则把这个常数 P(A) 称为事件 A 的概率。

概率 P(A) 的范围：0 ≤ P(A) ≤ 1

频率与概率的关系

10.2 事件的关系和运算

一、事件的关系

含包含关系

如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A（或 A 包含于 B），记作 A ⊆ B。

从集合的角度：A ⊆ B 表示 A 是 B 的子集。

等相等关系

如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A = B。

即 A 与 B 包含完全相同的基本事件。

二、事件的运算

并并事件（和事件）

事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件，称为 A 与 B 的并事件（或和事件），记作 A ∪ B。

A ∪ B = {ω | ω ∈ A 或 ω ∈ B}

含义：A 发生，或 B 发生，或 A、B 都发生。

交交事件（积事件）

事件 A 与事件 B 同时发生的事件，称为 A 与 B 的交事件（或积事件），记作 A ∩ B。

A ∩ B = {ω | ω ∈ A 且 ω ∈ B}

含义：A 和 B 同时发生。

三、互斥事件与对立事件

互互斥事件（互不相容）

如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 A ∩ B = ∅，则称 A 与 B 为互斥事件。

互斥事件的 Venn 图表示：两个不相交的集合。

对对立事件（互逆事件）

如果 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B = Ā（A 的补事件）。

对立事件必须满足两个条件：不能同时发生且必有一个发生。

互斥与对立的区别

四、事件的差

事件的差

事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为 A 与 B 的差，记作 A - B。

A - B = {ω | ω ∈ A 且 ω ∉ B} = A ∩ ā

事件运算的 Venn 图表示

可以用集合的 Venn 图来理解事件的关系和运算：

例 2：事件的关系判断

从一副 52 张扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张。设事件 A = "抽到红心"，事件 B = "抽到红色牌"，事件 C = "抽到黑色 A"。判断 A 与 B、A 与 C 的关系。

解：

红心是红色牌的一种，所以 A 发生必然导致 B 发生，即 A ⊆ B（A 包含于 B）。

一张牌不可能既是红心又是黑色 A，所以 A ∩ C = ∅，即 A 与 C 互斥。

但 A ∪ C ≠ Ω（还有方块、梅花、黑桃的非 A 牌），所以 A 与 C 不对立。

10.3 概率的基本性质

一、概率的基本性质

1非负性

对任意事件 A，有 0 ≤ P(A) ≤ 1

2规范性

P(Ω) = 1，必然事件的概率为 1。

P(∅) = 0，不可能事件的概率为 0。

二、加法公式

概率的加法公式

对任意两个事件 A 和 B，有：

一般加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

互斥事件的加法公式

若 A 与 B 互斥（即 A ∩ B = ∅），则：

互斥事件加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

推广到 n 个两两互斥的事件：P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

三、对立事件的概率

对立事件概率公式

由于 A 和 Ā 互斥且 A ∪ Ā = Ω，所以：

对立事件概率
P(A) + P(Ā) = 1    即    P(Ā) = 1 - P(A)

当直接计算 P(A) 较困难时，可以先计算 P(Ā) 再用此公式求 P(A)，这是"正难则反"的策略。

四、古典概型

古典概型（等可能概型）

具有以下两个特征的概率模型称为古典概型：

  1. 有限性：试验的样本空间只包含有限个基本事件
  2. 等可能性：每个基本事件发生的概率相等
古典概型概率公式
P(A) = A 包含的基本事件数 / 基本事件总数 = m / n
古典概型解题步骤
  1. 确定试验的基本事件空间，列出所有基本事件
  2. 验证是否满足"有限性"和"等可能性"
  3. 确定事件 A 包含的基本事件个数 m
  4. 确定基本事件总数 n
  5. 计算 P(A) = m / n

例 3：古典概型 - 掷骰子

同时掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率。

解：

基本事件总数 n = 6 × 6 = 36

记事件 A = "点数之和为 7"，A 包含的基本事件：

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，共 m = 6 个

P(A) = 6 / 36 = 1/6

例 4：古典概型 - 抽球问题

袋中有 3 个红球和 2 个白球，从中任取 2 个球，求至少取到 1 个白球的概率。

解法一（直接法）：

从 5 个球中取 2 个，总取法 n = C(5,2) = 10

事件 A = "至少 1 个白球" 包含两种情况：

  • 1 白 1 红：C(2,1) × C(3,1) = 6 种
  • 2 白：C(2,2) = 1 种

m = 6 + 1 = 7，P(A) = 7/10 = 0.7

解法二（对立事件法）：

Ā = "取到的 2 个球全是红球"

P(Ā) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 3/10 = 7/10

五、几何概型

几何概型

如果每个基本事件可以视为从某个区域 Ω 中随机取一个点，且事件 A 发生当且仅当所取的点落在区域 Ω 中的子区域 A 内，则称此概率模型为几何概型。

几何概型的特点：

几何概型概率公式
P(A) = A 对应的区域几何度量 / Ω 对应的区域几何度量

几何度量可以是长度、面积或体积，取决于样本空间的几何特征。

例 5：几何概型 - 会面问题

甲、乙两人约定在 12:00~13:00 之间在某地会面，先到者等 20 分钟后离去。假设两人在约定时间段内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。

解：

设甲到达时间为 x，乙到达时间为 y（单位：分钟，以 12:00 为起点），则 0 ≤ x ≤ 60，0 ≤ y ≤ 60。

样本空间 Ω 是边长为 60 的正方形，面积 S(Ω) = 60² = 3600

两人能会面的条件：|x - y| ≤ 20

即 -20 ≤ x - y ≤ 20

在正方形中画出该区域（两条直线 y = x + 20 和 y = x - 20 之间的区域）。

不会面的区域面积 = 2 × (1/2) × 40 × 40 = 1600

会面区域面积 = 3600 - 1600 = 2000

P = 2000 / 3600 = 5/9

10.4 事件的相互独立性

一、相互独立事件

相互独立事件的定义

设 A、B 为两个事件，如果 P(A ∩ B) = P(A) · P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称 A 与 B 独立。

直观理解：A 的发生不影响 B 发生的概率，B 的发生也不影响 A 发生的概率。

独立与互斥的区别

关键区别：

独独立事件的性质

二、n 次独立重复试验（伯努利试验）

独立重复试验

将一个试验重复做 n 次，且各次试验的结果相互独立，这样的试验称为 n 次独立重复试验。若每次试验只有两种结果（事件 A 发生或不发生），则称为 n 重伯努利试验。

二项分布公式

在 n 次独立重复试验中，每次试验事件 A 发生的概率为 p（0 < p < 1），则事件 A 恰好发生 k 次的概率为：

二项分布 B(n, p)
P(X = k) = C(n, k) · pk · (1-p)n-k    (k = 0, 1, 2, ..., n)

记作 X ~ B(n, p)。

二项分布的要点

例 6：独立事件 - 同时掷骰子

甲、乙各掷一枚骰子，求甲掷出 6 且乙掷出 6 的概率。

解：

事件 A = "甲掷出 6"，P(A) = 1/6

事件 B = "乙掷出 6"，P(B) = 1/6

甲、乙掷骰子是独立的，互不影响。

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36

例 7：二项分布 - 掷硬币

将一枚均匀硬币掷 5 次，求恰好出现 3 次正面的概率。

解：

每次掷硬币出现正面的概率 p = 1/2，共 n = 5 次独立重复试验。

设 X 为出现正面的次数，则 X ~ B(5, 1/2)。

P(X = 3) = C(5, 3) · (1/2)3 · (1/2)2

= 10 × (1/8) × (1/4)

= 10 / 32 = 5/16

例 8：二项分布 - 射击问题

某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，独立射击 4 次，求：

(1) 恰好命中 3 次的概率；(2) 至少命中 1 次的概率。

解：设 X 为命中次数，X ~ B(4, 0.8)

(1) 恰好命中 3 次：

P(X = 3) = C(4, 3) · (0.8)3 · (0.2)1

= 4 × 0.512 × 0.2 = 0.4096

(2) 至少命中 1 次（对立事件法）：

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

P(X = 0) = C(4, 0) · (0.8)0 · (0.2)4 = 1 × 1 × 0.0016 = 0.0016

P(X ≥ 1) = 1 - 0.0016 = 0.9984

10.5 频率与概率的关系

一、大数定律

大数定律（伯努利大数定律）

设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p（0 < p < 1），用 fn(A) 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频率，则对任意给定的正数 ε > 0，有：

大数定律
limn→∞ P(|fn(A) - p| < ε) = 1

即当试验次数 n 足够大时，频率 fn(A) 以很大的概率趋近于概率 p。

二、频率的稳定性

稳频率稳定性的含义

三、用频率估计概率的方法

实际应用中的方法

在实际问题中，当无法通过理论计算得到概率时，可以通过以下步骤用频率估计概率：

  1. 进行大量的重复试验（一般不少于 30 次）
  2. 记录事件 A 发生的频数 m
  3. 计算频率 f = m / n
  4. 用频率 f 作为概率 P(A) 的估计值

注意事项：试验必须是独立重复的，样本量要足够大。

例 9：频率估计概率

某工厂为了估计产品合格率，随机抽取了 200 件产品进行检验，其中有 194 件合格。用频率估计概率的方法，估计该厂产品的合格率。

解：

合格品的频率 f = 194 / 200 = 0.97

用频率 0.97 作为合格概率的估计值，即该厂产品的合格率约为 97%。

若要更精确的估计，可以增大样本量。

例 10：综合应用

一个袋中有 5 个球（编号 1~5），有放回地从中抽取 3 次，每次取 1 个球。求：

(1) 3 次都取到奇数号球的概率；

(2) 至少有 1 次取到偶数号球的概率。

解：

每次取到奇数号球（1, 3, 5）的概率 p = 3/5

每次取到偶数号球（2, 4）的概率 q = 2/5

由于是有放回抽取，各次抽取相互独立。

(1) 3 次都取到奇数号球：

P = (3/5)3 = 27/125 = 0.216

(2) 至少有 1 次取到偶数号球（对立事件法）：

P = 1 - P(3 次都取到奇数号球) = 1 - 27/125 = 98/125 = 0.784

本章知识总结