第六章平面向量及其应用 - 高中数学知识总结

6.1 平面向量的概念

1向量的定义

什么是向量

在数学和物理学中，我们把既有大小又有方向的量称为向量（也叫矢量）。只有大小没有方向的量称为标量（如温度、质量等）。

在实际生活中，力、速度、位移、加速度等都是向量；而温度、时间、距离、质量等是标量。

2向量的表示方法

几何表示与字母表示

有向线段表示：用带箭头的线段表示向量，起点为 A，终点为 B，记作向量 AB（上方加箭头）。线段的长度表示向量的大小，箭头指向表示向量的方向。
字母表示：用小写字母加箭头表示，如 a（上方加箭头）、b（上方加箭头）等。在印刷体中常用黑体字母 a, b, c 表示。

3向量的相关概念

零向量

长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0（上方加箭头）。零向量的方向是任意的。

单位向量

长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量。与向量 a 同方向的单位向量记作 â = a/|a|。

相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量可以自由平移，相等向量与起点位置无关。

相反向量

长度相等但方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量记作 -a。AB 的相反向量是 BA。

共线向量（平行向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也称为共线向量。向量 a 平行于 b 记作 a ∥ b。规定零向量与任何向量平行。

注意：共线向量不一定在同一条直线上，平行向量可以经过平移使它们在同一条直线上。

4向量的模

向量的大小

向量 AB 的大小（即有向线段 AB 的长度）叫做向量的模（也叫向量的长度），记作 |AB| 或 |a|。零向量的模为 0。

两个向量不能比较大小（因为方向不同无法比较），但它们的模可以比较大小。

6.2 平面向量的线性运算

1向量的加法

三角形法则

已知向量 a、b，在平面上任取一点 O，作 OA = a，再以 A 为起点作 AB = b，则 OB = a + b。

几何意义：从 a 的终点出发作 b，连接 a 的起点到 b 的终点的向量即为 a + b。

平行四边形法则

以同一点 O 为起点，分别作 OA = a，OB = b，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则对角线 OC = a + b。

平行四边形法则常用于力学中力的合成。

向量加法的运算律 交换律：a + b = b + a
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

特殊关系

a + 0 = 0 + a = a
a + (-a) = 0
|a + b| ≤ |a| + |b|（三角不等式），等号成立当且仅当 a 与 b 同向
|a + b| ≥ ||a| - |b||，等号成立当且仅当 a 与 b 反向

2向量的减法

减法定义

向量减法是向量加法的逆运算：a - b = a + (-b)

几何意义：如果 a = OA，b = OB，则 a - b = BA（"共起点，连终点，指向被减向量"）。

重要结论

对于不共线的四个点 A, B, C, D（构成平行四边形 ABCD），有 AB = DC，AD = BC。AC = AB + AD，BD = AD - AB。

3数乘向量

数乘的定义

实数 λ 与向量 a 的积 λa 是一个向量，其定义如下：

当 λ > 0 时，λa 的方向与 a 相同，模为 λ|a|
当 λ < 0 时，λa 的方向与 a 相反，模为 |λ||a|
当 λ = 0 时，λa = 0

数乘的运算律 λ(μa) = (λμ)a
(λ + μ)a = λa + μa
λ(a + b) = λa + λb

4共线定理

共线向量定理

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：存在唯一的实数 λ，使得 b = λa。

此定理是判断两向量是否共线（平行）的重要依据。在解析几何中，常利用共线条件求解参数或证明三点共线。

三点共线条件

设 O 为平面内一点（不在直线 AB 上），则 A、B、C 三点共线的充要条件是存在实数 λ 使得 OC = (1-λ)OA + λOB，其中 λ 的值决定了 C 在直线 AB 上的位置。特别地，当 λ = 1/2 时，C 是 AB 的中点。

例题 6.2.1

在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，设 AB = a，AC = b，用 a、b 表示 BE。

解：由 D 是 BC 中点，得 AD = (AB + AC)/2 = (a + b)/2

由 E 是 AD 中点，得 AE = AD/2 = (a + b)/4

所以 BE = AE - AB = (a + b)/4 - a = -3a/4 + b/4

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示

1平面向量基本定理

平面向量基本定理

如果 e₁、e₂ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量 a，有且只有一对实数 λ₁、λ₂，使得

a = λ₁e₁ + λ₂e₂

其中，不共线的向量 e₁、e₂ 叫做这一平面内所有向量的一组基底。

理解要点

基底中的两个向量必须不共线（非零且方向不同）
基底不是唯一的，同一个向量在不同基底下的分解系数不同
λ₁、λ₂ 是唯一确定的
零向量不能作为基底中的向量

2向量的坐标表示

直角坐标系下的坐标

在平面直角坐标系中，取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。对于平面内任意向量 a，有唯一分解：

a = xi + yj

有序实数对 (x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。

特别地，i = (1, 0)，j = (0, 1)，0 = (0, 0)。

3坐标运算

向量加减法的坐标运算设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则
a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)

数乘的坐标运算设 a = (x, y)，λ 为实数，则 λa = (λx, λy)

向量的模设 a = (x, y)，则 |a| = √(x² + y²)

两点间的距离与向量设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则
AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

中点坐标公式设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 AB 中点 M 的坐标为
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

4共线的坐标表示

向量共线的坐标条件

设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，且 b ≠ 0，则：

a ∥ b ↔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

即两向量共线的充要条件是"交叉相乘之差为零"。这也等价于对应坐标成比例：x₁/x₂ = y₁/y₂（分母不为零时）。

例题 6.3.1

已知 a = (2, 1)，b = (-3, 4)，求 2a + b 的坐标以及 |a - b| 的值。

解：

2a + b = 2(2, 1) + (-3, 4) = (4, 2) + (-3, 4) = (1, 6)

a - b = (2, 1) - (-3, 4) = (2+3, 1-4) = (5, -3)

|a - b| = √(25 + 9) = √34

例题 6.3.2

已知 A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, t) 三点共线，求 t 的值。

解：

AB = (3-1, 4-2) = (2, 2)，AC = (5-1, t-2) = (4, t-2)

由三点共线得 AB ∥ AC，因此 2(t-2) - 2×4 = 0

2t - 4 - 8 = 0，2t = 12，t = 6

6.4 平面向量的数量积

1数量积的定义

向量的数量积（点积）

已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ（0 ≤ θ ≤ π），则

a · b = |a| · |b| · cos θ

叫做 a 和 b 的数量积（也叫点积、内积）。数量积的结果是一个实数，而不是向量。

其中 θ = <a, b> 表示 a 和 b 之间的夹角，取值范围为 [0, π]。

规定

零向量与任何向量的数量积为 0，即 0 · a = 0。

2数量积的坐标表示

坐标运算设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则
a · b = x₁x₂ + y₁y₂

数量积的坐标运算是"对应坐标乘积之和"，这一公式在实际计算中比定义式更为方便。

3数量积的性质

基本性质 ① a · a = |a|²（自积等于模的平方）
② |a| = √(a · a) = √(x² + y²)
③ cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)（用于求夹角）
④ |a · b| ≤ |a| · |b|（柯西-施瓦茨不等式）

垂直的充要条件

设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：

a ⊥ b ↔ a · b = 0 ↔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

这是判断两向量垂直的核心公式，在几何证明和解析几何中有广泛应用。

4数量积的运算律

运算律 交换律：a · b = b · a
数乘结合律：(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb)
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c

重要提醒

数量积不满足结合律！即 (a · b) · c ≠ a · (b · c)。注意 (a · b) · c 表示用实数 (a · b) 去数乘向量 c，而 a · (b · c) 表示用实数 (b · c) 去数乘向量 a，两者通常不相等。

例题 6.4.1

已知 |a| = 3，|b| = 4，a 与 b 的夹角为 60°，求 (a + 2b) · (2a - b) 的值。

解：a · b = |a| · |b| · cos 60° = 3 × 4 × 1/2 = 6

(a + 2b) · (2a - b)

= 2(a · a) - a · b + 4(a · b) - 2(b · b)

= 2|a|² + 3(a · b) - 2|b|²

= 2 × 9 + 3 × 6 - 2 × 16

= 18 + 18 - 32

= 4

例题 6.4.2

已知 a = (1, 2)，b = (3, -1)，求 a 和 b 的夹角 θ。

解：

a · b = 1 × 3 + 2 × (-1) = 3 - 2 = 1

|a| = √(1 + 4) = √5，|b| = √(9 + 1) = √10

cos θ = (a · b) / (|a| · |b|) = 1 / (√5 × √10) = 1/√50 = √2/10

θ = arccos(√2/10) ≈ 81.87°

6.5 平面向量的应用

1几何应用

向量在几何证明中有着广泛的应用，尤其适合证明平行、垂直关系以及求角度和距离。

证明平行

要证明 AB ∥ CD，只需证明向量 AB 与 CD 共线，即存在实数 λ 使 AB = λCD，或用坐标条件 x₁y₂ - x₂y₁ = 0。

证明垂直

要证明 AB ⊥ CD，只需证明 AB · CD = 0，即 x₁x₂ + y₁y₂ = 0。

求角度

利用公式 cos θ = (a · b) / (|a| · |b|) 可以求两向量之间的夹角。

2物理应用

力的合成与分解

力是向量，可以用向量加法进行力的合成。两个力 F₁、F₂ 的合力为 F = F₁ + F₂。力的分解是合成的逆运算。

速度的合成

物体的实际速度可以分解为水平和竖直分速度的合成。例如，船在水流中的实际速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度。

功的计算

恒力 F 使物体沿直线方向产生位移 s，则功 W = F · s = |F| · |s| · cos θ，这恰好是力向量与位移向量的数量积。

力矩与投影

向量在某方向上的投影 = |a| cos θ，这在力学和工程计算中经常用到。

例题 6.5.1

在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，求证：EF = (AB + DC)/2。

证明：以 A 为起点，设 AB = a，AD = d

则 AE = d/2（E 是 AD 中点）

AC = AB + BC，DC = AC - AD = a + BC - d

另外 AF = AB + BF = a + BC/2

所以 EF = AF - AE = a + BC/2 - d/2

又 AB + DC = a + (a + BC - d) = 2a + BC - d

所以 (AB + DC)/2 = a + BC/2 - d/2 = EF

故 EF = (AB + DC)/2 得证。

6.6 正弦定理和余弦定理

1正弦定理

正弦定理

在三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，R 为三角形外接圆的半径，则

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

适用场景

正弦定理适用于以下情况：

已知两角和一边（AAS 或 ASA）
已知两边和其中一边的对角（SSA）—— 此时可能有一解、两解或无解
进行边与角的正弦之间的转化

正弦定理的变形

a = 2R sin A，b = 2R sin B，c = 2R sin C
sin A = a/(2R)，sin B = b/(2R)，sin C = c/(2R)
a : b : c = sin A : sin B : sin C

2余弦定理

余弦定理

在三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，则

a² = b² + c² - 2bc cos A

b² = a² + c² - 2ac cos B

c² = a² + b² - 2ab cos C

余弦定理是勾股定理的推广。当角为 90° 时，cos 90° = 0，余弦定理退化为勾股定理。

余弦定理的变形（求角） cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos B = (a² + c² - b²) / (2ac)
cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)

适用场景

余弦定理适用于以下情况：

已知三边（SSS）—— 求角
已知两边和夹角（SAS）—— 求第三边

3三角形面积公式

常用面积公式 S = ½ · a · b · sin C = ½ · a · c · sin B = ½ · b · c · sin A

三角形面积公式将面积与边和角联系起来。在已知两边及其夹角时，可以直接用公式求面积，这在解析几何和实际测量中非常实用。

海伦公式已知三边 a、b、c，半周长 p = (a+b+c)/2，则
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

4解三角形

解三角形的基本策略

已知条件	方法	解的情况
两角一边（AAS/ASA）	先用三角形内角和求第三角，再用正弦定理求其余边	唯一确定
两边及其夹角（SAS）	用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求角	唯一确定
三边（SSS）	用余弦定理求角	唯一确定（需满足三角不等式）
两边及一边的对角（SSA）	用正弦定理求另一对角	可能一解、两解或无解

SSA 情形的讨论

已知 a、b 和角 A（角 A 为边 a 的对角）时，用正弦定理 sin B = b sin A / a：

若 sin B > 1：无解
若 sin B = 1：B = 90°，一解（直角三角形）
若 sin B < 1 且 A 为锐角：
- a < b sin A：无解
- a = b sin A：一解（直角三角形）
- b sin A < a < b：两解
- a ≥ b：一解
若 sin B < 1 且 A 为钝角或直角：a > b 时一解，a ≤ b 时无解

例题 6.6.1

在三角形 ABC 中，已知 a = 7，b = 8，C = 60°，求 c 和三角形的面积。

解：由余弦定理：

c² = a² + b² - 2ab cos C = 49 + 64 - 2 × 7 × 8 × cos 60°

= 113 - 112 × 1/2 = 113 - 56 = 57

所以 c = √57

三角形面积 S = ½ · a · b · sin C = ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × (√3/2) = 14√3

例题 6.6.2

在三角形 ABC 中，已知 A = 30°，a = 2，b = 3，求角 B 和边 c。

解：由正弦定理 a/sin A = b/sin B，得

sin B = b sin A / a = 3 × sin 30° / 2 = 3 × (1/2) / 2 = 3/4

因为 sin B = 3/4 < 1，且 A = 30° 为锐角，a = 2 < b = 3，所以需要进一步判断。

b sin A = 3 × 1/2 = 3/2，因为 a = 2 > b sin A = 3/2 且 a < b，所以 有两解。

第一组解：B 为锐角，cos B = √(1 - 9/16) = √7/4

C = 180° - 30° - B，sin C = sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B

= (1/2)(√7/4) + (√3/2)(3/4) = (√7 + 3√3)/8

c = a sin C / sin A = 2 × [(√7 + 3√3)/8] / (1/2) = (√7 + 3√3)/2

第二组解：B 为钝角（B = 180° - arcsin(3/4)），cos B = -√7/4

sin C = sin A cos B + cos A sin B = (1/2)(-√7/4) + (√3/2)(3/4) = (-√7 + 3√3)/8

c = 2 × [(-√7 + 3√3)/8] / (1/2) = (-√7 + 3√3)/2

例题 6.6.3

在三角形 ABC 中，a = 5，b = 7，c = 8，求角 C 的大小和三角形的面积。

解：由余弦定理求角 C：

cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (25 + 49 - 64) / (2 × 5 × 7) = 10/70 = 1/7

所以 C = arccos(1/7) ≈ 81.79°

sin C = √(1 - 1/49) = √(48/49) = 4√3/7

面积 S = ½ · a · b · sin C = ½ × 5 × 7 × (4√3/7) = 10√3

本章知识总结

基本概念

向量的定义与表示
零向量、单位向量、相等向量
共线向量（平行向量）
向量的模

运算与定理

向量加减法（三角形、平行四边形法则）
数乘向量
平面向量基本定理
坐标运算与共线条件
数量积及其性质

定理与应用

正弦定理及适用场景
余弦定理及适用场景
三角形面积公式
解三角形的方法与策略
向量在物理中的应用

核心

重要

提升