11.1 空间向量及其运算
一、空间向量的基本概念
空间向量
空间中既有大小又有方向的量叫做空间向量，用有向线段表示。空间向量常用 a⃗, b⃗, c⃗ 等表示，或用有向线段的起点和终点表示，如 →AB。
向量的大小叫做向量的长度（模），记作 |a⃗| 或 |→AB|。
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0⃗。零向量的方向是任意的。
长度为 1 的向量叫做单位向量。与向量 a⃗ 同方向的单位向量记作 a⃗₀ = a⃗/|a⃗|。
大小相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。
大小相等但方向相反的两个向量叫做相反向量。a⃗ 的相反向量记作 -a⃗。
方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量），记作 a⃗//b⃗。规定零向量与任意向量共线。
平行于同一平面的向量叫做共面向量。任意两个向量一定共面，三个或三个以上的向量不一定共面。
二、空间向量的线性运算
空间向量的加法与减法
空间向量的加法和减法运算与平面向量类似，满足三角形法则和平行四边形法则。
- 三角形法则：→AB + →BC = →AC（首尾相接，首尾相连）
- 平行四边形法则：以同一点出发的两个向量为邻边作平行四边形，对角线向量即为两个向量的和
- 减法：a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗)，即共起点，指向被减向量的终点
数乘向量
实数 λ 与向量 a⃗ 的乘积 λa⃗ 是一个向量，满足：
- 当 λ > 0 时，λa⃗ 与 a⃗ 同向，|λa⃗| = λ|a⃗|
- 当 λ < 0 时，λa⃗ 与 a⃗ 反向，|λa⃗| = |λ||a⃗|
- 当 λ = 0 时，λa⃗ = 0⃗
线性运算律：空间向量的加法、减法和数乘运算统称为线性运算，满足以下运算律：
- 加法交换律：a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗
- 加法结合律：(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)
- 数乘分配律：λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗
- 数乘结合律：λ(μa⃗) = (λμ)a⃗
三、共线定理与共面向量定理
共线定理（平行向量基本定理）
如果向量 a⃗ ≠ 0⃗，那么向量 b⃗ 与 a⃗ 共线（平行）的充要条件是：
推论：若 a⃗ = (x₁, y₁, z₁)，b⃗ = (x₂, y₂, z₂)，则 b⃗//a⃗ ↔ x₁/x₂ = y₁/y₂ = z₁/z₂（各分量不为零时）。
共面向量定理
如果两个向量 a⃗, b⃗ 不共线，那么向量 p⃗ 与向量 a⃗, b⃗ 共面的充要条件是：
例 1：共线向量的判定
已知 A(1, 2, 3)，B(2, 4, 6)，C(3, 6, 9)，判断 A、B、C 三点是否共线。
解：
→AB = (2-1, 4-2, 6-3) = (1, 2, 3)
→AC = (3-1, 6-2, 9-3) = (2, 4, 6)
因为 →AC = 2→AB，所以 →AC 与 →AB 共线，又因为它们有公共起点 A，
所以 A、B、C 三点共线。
11.2 空间向量基本定理
空间向量基本定理
设 a⃗, b⃗, c⃗ 是空间中三个不共面的向量，那么对空间中任意一个向量 p⃗，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使得：
{a⃗, b⃗, c⃗} 叫做空间的一个基底，a⃗, b⃗, c⃗ 叫做基向量。
重要说明：
- 基底中的三个向量必须不共面，即线性无关
- 基底不是唯一的，空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底
- 零向量不能作为基向量
- 空间中任意四个向量一定共面，因此不能同时作为基底
标准正交基
如果空间的一个基底 {a⃗, b⃗, c⃗} 满足：
- a⃗, b⃗, c⃗ 两两垂直
- a⃗, b⃗, c⃗ 都是单位向量（即 |a⃗| = |b⃗| = |c⃗| = 1）
则称 {a⃗, b⃗, c⃗} 为一个标准正交基（单位正交基底）。
例 2：空间向量的基底分解
在正四面体 ABCD 中，设 →AB = a⃗，→AC = b⃗，→AD = c⃗。用 a⃗, b⃗, c⃗ 表示向量 →CD。
解：
→CD = →AD - →AC = c⃗ - b⃗
所以 →CD = -b⃗ + c⃗
11.3 空间向量的坐标表示
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间中取一定点 O，以 O 为原点，分别以三条两两垂直的数轴的正方向为单位向量，建立空间直角坐标系 O-xyz。
- x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）
- 三个坐标轴的正方向满足右手定则
- 每两条坐标轴确定一个坐标平面：xOy 面、yOz 面、zOx 面
- 三个坐标平面将空间分为八个卦限
二、向量的坐标运算
设 a⃗ = (x₁, y₁, z₁)，b⃗ = (x₂, y₂, z₂)，则：
- 加法： a⃗ + b⃗ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
- 减法： a⃗ - b⃗ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)
- 数乘： λa⃗ = (λx₁, λy₁, λz₁)
- 数量积： a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
- 模： |a⃗| = √(x₁² + y₁² + z₁²)
- 夹角： cos⟨a⃗, b⃗⟩ = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁²+y₁²+z₁²) · √(x₂²+y₂²+z₂²))
三、两点间的距离与中点坐标
两点距离公式
设 A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，则：
|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)
中点坐标公式
设 A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，则中点 M 的坐标为：
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
例 3：空间向量的坐标运算
已知 a⃗ = (2, -1, 3)，b⃗ = (1, 2, -2)，求：(1) 2a⃗ - 3b⃗；(2) a⃗·b⃗；(3) cos⟨a⃗, b⃗⟩。
解：
(1) 2a⃗ - 3b⃗ = 2(2, -1, 3) - 3(1, 2, -2)
= (4, -2, 6) - (3, 6, -6) = (1, -8, 12)
(2) a⃗·b⃗ = 2×1 + (-1)×2 + 3×(-2) = 2 - 2 - 6 = -6
(3) |a⃗| = √(4+1+9) = √14，|b⃗| = √(1+4+4) = 3
cos⟨a⃗, b⃗⟩ = (-6) / (√14 × 3) = -6/(3√14) = -2/√14 = -√14/7
11.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、方向向量与法向量
直线的方向向量
平行于直线 l 的非零向量叫做直线 l 的方向向量。一条直线的方向向量不唯一，但它们都互相共线。若 a⃗ 是直线 l 的方向向量，则 λa⃗（λ ≠ 0）也是 l 的方向向量。
平面的法向量
垂直于平面 α 的非零向量叫做平面 α 的法向量。一个平面的法向量不唯一，但它们都互相共线。
求法：设法向量 n⃗ = (x, y, z)，在平面内取两个不共线的向量 a⃗, b⃗，由 n⃗·a⃗ = 0 和 n⃗·b⃗ = 0 联立方程组求解。
二、用向量判断位置关系
线线关系
设直线 l₁ 的方向向量为 a⃗，直线 l₂ 的方向向量为 b⃗，则：
- 平行： a⃗//b⃗ ↔ b⃗ = λa⃗
- 垂直： a⃗ ⊥ b⃗ ↔ a⃗·b⃗ = 0
线面关系
设直线 l 的方向向量为 a⃗，平面 α 的法向量为 n⃗，则：
- 平行： l // α ↔ a⃗ ⊥ n⃗ ↔ a⃗·n⃗ = 0
- 垂直： l ⊥ α ↔ a⃗//n⃗ ↔ a⃗ = λn⃗
斜交：设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ（θ ∈ [0°, 90°]），则：
面面关系
设平面 α₁ 的法向量为 n⃗₁，平面 α₂ 的法向量为 n⃗₂，则：
- 平行： α₁ // α₂ ↔ n⃗₁//n⃗₂ ↔ n⃗₁ = λn⃗₂
- 垂直： α₁ ⊥ α₂ ↔ n⃗₁ ⊥ n⃗₂ ↔ n⃗₁·n⃗₂ = 0
例 4：求平面的法向量
已知平面 α 经过点 A(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 1)，求平面 α 的一个法向量。
解：
在平面 α 内取向量：→AB = (1, 1, 0)，→AC = (0, 1, 1)
设法向量 n⃗ = (x, y, z)，则：
n⃗·→AB = x + y = 0 → x = -y
n⃗·→AC = y + z = 0 → z = -y
令 y = 1，则 x = -1，z = -1
所以平面 α 的一个法向量为 n⃗ = (-1, 1, -1)
（验证：n⃗·→AB = -1+1+0 = 0 √，n⃗·→AC = 0+1-1 = 0 √）
例 5：判断线面关系
已知直线 l 的方向向量 a⃗ = (1, 2, 3)，平面 α 的法向量 n⃗ = (2, -1, 0)，判断直线 l 与平面 α 的位置关系。
解：
计算 a⃗·n⃗ = 1×2 + 2×(-1) + 3×0 = 2 - 2 + 0 = 0
因为 a⃗·n⃗ = 0，所以 a⃗ ⊥ n⃗，即直线 l 的方向向量与平面的法向量垂直。
所以直线 l 与平面 α 平行（或 l 在平面 α 内）。
11.5 用空间向量研究距离、夹角问题
一、夹角问题
线线角
两条直线所成的角 θ ∈ [0°, 90°]。设两条直线的方向向量分别为 a⃗ 和 b⃗，则：
线面角
直线与其在平面上的投影所成的角 θ ∈ [0°, 90°]。设直线的方向向量为 a⃗，平面的法向量为 n⃗，则：
注意：线面角用的是 sin，不是 cos。因为线面角是方向向量与法向量夹角的余角。
二面角
设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的法向量分别为 n⃗₁ 和 n⃗₂，则：
符号判断方法：根据法向量的方向与二面角的几何关系来确定正负号。可以画图观察两个法向量的方向与二面角的开口方向的关系。
二、距离问题
点到平面的距离
点 P 到平面 α 的距离 d，设 A 为平面 α 上的任意一点，平面 α 的法向量为 n⃗，则：
几何意义：→AP 在法向量 n⃗ 方向上的投影的绝对值。
两平行平面间的距离
设平面 α₁ // α₂，取 α₁ 上一点 A 和 α₂ 上一点 B，法向量为 n⃗，则：
例 6：求二面角
如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 1。求二面角 A-BD₁-C 的余弦值。
解：建立空间直角坐标系，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA₁ 为 z 轴。
则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，B₁(1,0,1)，D₁(0,1,1)
→BD₁ = (0,1,1) - (1,0,0) = (-1, 1, 1)
平面 ABD₁ 的法向量 n⃗₁：取 →AB = (1,0,0)，→AD₁ = (0,1,1)
n⃗₁·→AB = x = 0，n⃗₁·→AD₁ = y + z = 0
取 n⃗₁ = (0, -1, 1)
平面 CBD₁ 的法向量 n⃗₂：取 →CB = (1,0,0) - (1,1,0) = (0,-1,0)，→CD₁ = (0,1,1) - (1,1,0) = (-1,0,1)
n⃗₂·→CB = -y = 0 → y = 0，n⃗₂·→CD₁ = -x + z = 0
取 n⃗₂ = (1, 0, 1)
cosθ = (n⃗₁·n⃗₂) / (|n⃗₁|·|n⃗₂|) = (0+0+1) / (√2 × √2) = 1/2
由几何关系，二面角 A-BD₁-C 的余弦值为 1/2，即二面角为 60°。
例 7：求线面角
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 1。求直线 AC₁ 与平面 BB₁D₁D 所成角的正弦值。
解：建立坐标系，以 D 为原点，DA、DC、DD₁ 分别为 x、y、z 轴。
A(1,0,0)，C(0,1,0)，C₁(0,1,1)，B(1,1,0)，B₁(1,1,1)，D₁(0,0,1)
→AC₁ = (0,1,1) - (1,0,0) = (-1, 1, 1)，为直线 AC₁ 的方向向量。
平面 BB₁D₁D 的法向量：取 →DB = (1,1,0)，→DB₁ = (1,1,1)
n⃗·→DB = x + y = 0 → y = -x
n⃗·→DB₁ = x + y + z = 0 → z = 0
取 n⃗ = (1, -1, 0)
sinθ = |→AC₁·n⃗| / (|→AC₁|·|n⃗|) = |-1-1+0| / (√3 × √2) = 2/√6 = √6/3
所以直线 AC₁ 与平面 BB₁D₁D 所成角的正弦值为 √6/3。
例 8：求点到平面的距离
在棱长为 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求点 A 到平面 BCD₁ 的距离。
解：建立坐标系，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA₁ 为 z 轴。
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，D₁(0,1,1)
平面 BCD₁ 的法向量：取 →BC = (0,1,0)，→BD₁ = (-1,1,1)
n⃗·→BC = y = 0
n⃗·→BD₁ = -x + y + z = 0，代入 y = 0 得 z = x
取 n⃗ = (1, 0, 1)
取平面内一点 B(1,0,0)，则 →AB = (1, 0, 0)
d = |→AB·n⃗| / |n⃗| = |1+0+0| / √2 = √2/2
所以点 A 到平面 BCD₁ 的距离为 √2/2。
例 9：综合应用（含参数）
在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 底面 ABCD，PA = 2。求二面角 B-PC-D 的余弦值。
解：建立坐标系，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴。
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)
→PC = (2,2,-2)，→PB = (2,0,-2)，→PD = (0,2,-2)
平面 BPC 的法向量 n⃗₁：
n⃗₁·→PC = 2x + 2y - 2z = 0
n⃗₁·→PB = 2x - 2z = 0 → z = x
代入得 y = 0，取 n⃗₁ = (1, 0, 1)
平面 DPC 的法向量 n⃗₂：
n⃗₂·→PC = 2x + 2y - 2z = 0
n⃗₂·→PD = 2y - 2z = 0 → z = y
代入得 x = 0，取 n⃗₂ = (0, 1, 1)
cosθ = (n⃗₁·n⃗₂) / (|n⃗₁|·|n⃗₂|) = (0+0+1) / (√2 × √2) = 1/2
二面角 B-PC-D 的余弦值为 1/2（锐角二面角），即 60°。
例 10：空间向量综合证明与计算
在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，侧面 ABB₁A₁ ⊥ 底面 ABC，AB = BC = 2，∠ABC = 90°，AA₁ = 2，A₁A = A₁B。求点 B₁ 到平面 A₁BC 的距离。
解：由 AB = BC = 2，∠ABC = 90°，建立坐标系，以 B 为原点。
B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)
A₁B = AA₁ = 2，侧面 ABB₁A₁ ⊥ 底面 ABC，所以 A₁ 在 xBz 平面内。
A₁B = 2，A₁ 在 xz 平面上，设 A₁ = (1, 0, h)，A₁A = √((1-2)² + h²) = 2
√(1 + h²) = 2 → h = √3，取 A₁ = (1, 0, √3)
B₁ = A₁ + (B - A) = (1,0,√3) + (-2,0,0) = (-1, 0, √3)
平面 A₁BC 的法向量：取 →BA₁ = (1,0,√3)，→BC = (0,2,0)
n⃗·→BA₁ = x + √3z = 0
n⃗·→BC = 2y = 0 → y = 0
取 n⃗ = (√3, 0, -1)
取平面内一点 B(0,0,0)，→BB₁ = (-1, 0, √3)
d = |→BB₁·n⃗| / |n⃗| = |-√3 + 0 - √3| / √(3+1) = 2√3 / 2 = √3
所以点 B₁ 到平面 A₁BC 的距离为 √3。
本章知识总结
核心公式
- 数量积： a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
- 模： |a⃗| = √(x²+y²+z²)
- 两点距离： |AB| = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)
- 共线： b⃗ = λa⃗
- 垂直： a⃗·b⃗ = 0
方法技巧
- 建立空间直角坐标系是关键第一步
- 求法向量：取平面内两个不共线向量，解方程组
- 线面角用 sin，二面角用 cos（注意正负号）
- 点到面距离 = |→AP·n⃗| / |n⃗|
- 善于利用正方体等特殊模型建立坐标系