4.1 指数与指数幂的运算
整数指数幂
一般地，a 的 n 次幂（n 为正整数）定义如下：
补充定义：
- 零次幂：a⁰ = 1（a ≠ 0）
- 负整数指数幂：a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0, n 为正整数）
根式
如果 xⁿ = a（n > 1, n ∈ N*），那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
正数的正方根叫做算术根，记作 ⁿ√a（a > 0）。
分数指数幂
规定正数的分数指数幂如下：
注意：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。
指数幂的运算性质
设 a > 0, b > 0, r, s ∈ Q，则：
例题 1：指数幂化简
化简下列各式：
(1) (27/8)^(-2/3) (2) (a^(1/2) · a^(1/3)) ÷ a^(5/6) (3) (2x^(1/2))(3x^(1/3))
解：
(1) (27/8)^(-2/3) = (8/27)^(2/3)
= [(8)^(1/3)]² / [(27)^(1/3)]² = 2² / 3² = 4/9
(2) (a^(1/2) · a^(1/3)) ÷ a^(5/6)
= a^(1/2 + 1/3) ÷ a^(5/6) = a^(5/6) ÷ a^(5/6) = a⁰ = 1
(3) (2x^(1/2))(3x^(1/3))
= 2 × 3 × x^(1/2) × x^(1/3) = 6x^(5/6)
4.2 指数函数
指数函数的定义
一般地，函数 y = aˣ（a > 0, 且 a ≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，定义域为 R。
注意：底数 a 必须满足 a > 0 且 a ≠ 1，否则不是指数函数。
指数函数的图像与性质
| 特征 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 图像 | 从左到右上升 | 从左到右下降 |
| 定义域 | R（-∞, +∞） | |
| 值域 | (0, +∞) | |
| 过定点 | (0, 1)，因为 a⁰ = 1 | |
| 单调性 | R 上单调递增 | R 上单调递减 |
| 当 x > 0 时 | y > 1 | 0 < y < 1 |
| 当 x < 0 时 | 0 < y < 1 | y > 1 |
| 典型例子 | y = 2ˣ, y = eˣ | y = (1/2)ˣ, y = (1/e)ˣ |
指数函数的重要性质
- 指数函数的图像始终在 x 轴上方，即 y > 0（图像不与 x 轴相交）
- 图像关于 y 轴不对称（指数函数既不是奇函数也不是偶函数）
- 当 a > 1 时，a 越大，图像在 x > 0 部分越靠近 y 轴
- 当 0 < a < 1 时，a 越小，图像在 x > 0 部分越靠近 y 轴
- y = aˣ 与 y = (1/a)ˣ 的图像关于 y 轴对称
例题 2：比较指数大小
比较下列各组数的大小：
(1) 2^0.3 和 2^0.5 (2) 0.3^2 和 0.3^0.5 (3) 1.5^0.3 和 0.5^1.2
解：
(1) 考察 y = 2ˣ，因为 a = 2 > 1，所以是增函数
因为 0.3 < 0.5，所以 2^0.3 < 2^0.5
(2) 考察 y = 0.3ˣ，因为 0 < a = 0.3 < 1，所以是减函数
因为 2 > 0.5，所以 0.3² < 0.3^0.5
(3) 利用中间值 1 进行比较
1.5^0.3 > 1.5⁰ = 1（因为 a = 1.5 > 1 且 0.3 > 0）
0.5^1.2 < 0.5⁰ = 1（因为 0 < a = 0.5 < 1 且 1.2 > 0）
所以 1.5^0.3 > 1 > 0.5^1.2
例题 3：指数不等式
解不等式 3^(2x-1) > 3^(x+2)
解：
因为 y = 3ˣ 中 a = 3 > 1，所以 3ˣ 是增函数
由 3^(2x-1) > 3^(x+2) 得：
2x - 1 > x + 2
x > 3
所以不等式的解集为 (3, +∞)
4.3 对数与对数运算
对数的定义
如果 aᵇ = N（a > 0, a ≠ 1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：
其中 a 叫做底数，N 叫做真数。
根据定义：a^(logₐN) = N（对数恒等式）
常用对数
以 10 为底的对数叫做常用对数，记作：
自然对数
以无理数 e ≈ 2.71828 为底的对数叫做自然对数，记作：
对数的运算性质
设 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0，则：
换底公式
对于 a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0：
推论：
- logₐb · logᵦa = 1
- logₐb · logᵦc · logca = 1
- logₐⁿbᵐ = (m/n) · logₐb
例题 4：对数运算
计算下列各式的值：
(1) log₂8 + log₂4 (2) lg 100 - lg 0.01 (3) log₉27
解：
(1) log₂8 + log₂4 = log₂(8 × 4) = log₂32 = log₂(2⁵) = 5
(2) lg 100 - lg 0.01 = lg(100/0.01) = lg 10000 = lg 10⁴ = 4
(3) log₉27 = log₃27 / log₃9 = log₃3³ / log₃3² = 3/2 = 3/2
例题 5：对数化简
已知 logₐ2 = m，logₐ3 = n，求 logₐ12 的值。
解：
logₐ12 = logₐ(4 × 3) = logₐ4 + logₐ3
= logₐ2² + logₐ3
= 2logₐ2 + logₐ3
= 2m + n
所以 logₐ12 = 2m + n
4.4 对数函数
对数函数的定义
一般地，函数 y = logₐx（a > 0, 且 a ≠ 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域为 (0, +∞)。
对数函数的图像与性质
| 特征 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 图像 | 从左到右上升 | 从左到右下降 |
| 定义域 | (0, +∞) | |
| 值域 | R（-∞, +∞） | |
| 过定点 | (1, 0)，因为 logₐ1 = 0 | |
| 单调性 | (0, +∞) 上单调递增 | (0, +∞) 上单调递减 |
| 当 x > 1 时 | y > 0 | y < 0 |
| 当 0 < x < 1 时 | y < 0 | y > 0 |
| 典型例子 | y = log₂x, y = ln x | y = log₀.₅x, y = log₁/₂x |
指数函数与对数函数的关系
指数函数 y = aˣ 与对数函数 y = logₐx 互为反函数。
- 它们的图像关于直线 y = x 对称
- 指数函数的定义域是对数函数的值域，反之亦然
- 指数函数的值域是对数函数的定义域，反之亦然
- 单调性一致：同为增函数或同为减函数
指数函数与对数函数对比表
| 特征 | 指数函数 y = aˣ | 对数函数 y = logₐx |
|---|---|---|
| 底数条件 | a > 0 且 a ≠ 1 | |
| 定义域 | R | (0, +∞) |
| 值域 | (0, +∞) | R |
| 过定点 | (0, 1) | (1, 0) |
| a > 1 时 | 递增 | 递增 |
| 0 < a < 1 时 | 递减 | 递减 |
| 关系 | 互为反函数，图像关于 y = x 对称 | |
例题 6：对数函数的定义域
求函数 f(x) = log₂(x - 1) + √(3 - x) 的定义域。
解：
需同时满足：
- 对数真数大于零：x - 1 > 0，即 x > 1
- 偶次根号下非负：3 - x ≥ 0，即 x ≤ 3
取交集得定义域为 (1, 3]
例题 7：比较对数大小
比较下列各组数的大小：
(1) log₂3 和 log₂5 (2) log₀.₃2 和 log₀.₃5 (3) log₃2 和 log₅2
解：
(1) y = log₂x 中 a = 2 > 1，是增函数
因为 3 < 5，所以 log₂3 < log₂5
(2) y = log₀.₃x 中 0 < a = 0.3 < 1，是减函数
因为 2 < 5，所以 log₀.₃2 > log₀.₃5
(3) 利用中间值 0 和 1 进行比较
log₃2：因为 1 < 2 < 3，且 a = 3 > 1，所以 0 < log₃2 < 1
log₅2：因为 1 < 2 < 5，且 a = 5 > 1，所以 0 < log₅2 < 1
用换底公式：log₃2 = ln2/ln3，log₅2 = ln2/ln5
因为 ln3 < ln5，所以 ln2/ln3 > ln2/ln5
所以 log₃2 > log₅2
例题 8：对数方程
解方程 log₂(x + 3) + log₂(x - 1) = 3
解：
首先确定定义域：x + 3 > 0 且 x - 1 > 0，即 x > 1
由对数运算性质：
log₂[(x + 3)(x - 1)] = 3
(x + 3)(x - 1) = 2³ = 8
x² + 2x - 3 = 8
x² + 2x - 11 = 0
解得 x = (-2 ± √48)/2 = -1 ± 2√3
因为 x > 1，取 x = -1 + 2√3
检验：-1 + 2√3 ≈ -1 + 3.46 = 2.46 > 1，符合定义域
所以方程的解为 x = -1 + 2√3
4.5 函数的应用
数学建模的基本步骤
- 审题：理解题意，找出已知条件和待求问题
- 设变量：选择合适的自变量和因变量
- 建立模型：根据实际问题建立函数关系式
- 求解：运用数学知识求解函数问题
- 检验：将结果代入实际问题中验证合理性
- 作答：用实际问题的语言回答问题
指数增长模型
在一定条件下，某种量按固定比率增长（或衰减）的过程，可以用指数函数描述：
其中 N₀ 为初始值，a 为增长因子（a > 1 为增长，0 < a < 1 为衰减），t 为时间。
复利计算模型
银行复利计算是最典型的指数增长应用：
其中 P 为本金，r 为年利率，t 为年数，A 为 t 年后的本利和。
常见应用模型
| 应用场景 | 函数模型 | 说明 |
|---|---|---|
| 细胞分裂 | y = 2ⁿ | n 次分裂后数量为 2ⁿ |
| 人口增长 | N = N₀ · eʳᵗ | r 为增长率，t 为时间 |
| 放射性衰变 | m = m₀ · (1/2)^(t/T) | T 为半衰期 |
| 声音强度 | L = 10 · lg(I/I₀) | 分贝公式 |
| 地震震级 | M = lg(E/E₀) | 里氏震级公式 |
例题 9：复利问题
某人将 10000 元存入银行，年利率为 5%，按复利计算，多少年后本利和能超过 20000 元？（参考数据：lg2 ≈ 0.3010，lg1.05 ≈ 0.0212）
解：
设 t 年后本利和为 A 元，则 A = 10000 × (1 + 5%)ᵗ = 10000 × 1.05ᵗ
令 A > 20000，得 10000 × 1.05ᵗ > 20000
1.05ᵗ > 2
两边取常用对数：t · lg1.05 > lg2
t > lg2 / lg1.05 = 0.3010 / 0.0212 ≈ 14.2
所以至少需要 15 年后本利和才能超过 20000 元。
例题 10：声音强度问题
声音的强度级别用分贝（dB）表示，公式为 L = 10 · lg(I/I₀)，其中 I₀ = 10⁻¹² W/m² 是人耳能听到的最弱声音。若声音强度为 I₀ 的 10000 倍，求其分贝数。
解：
由题意 I = 10000 × I₀ = 10⁴ × I₀
L = 10 · lg(I/I₀) = 10 · lg(10⁴ × I₀ / I₀)
= 10 · lg10⁴ = 10 × 4 = 40 dB
本章总结
核心概念
- 核心 指数函数 y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)，定义域 R，值域 (0, +∞)
- 核心 对数函数 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，定义域 (0, +∞)，值域 R
- 核心 指数函数与对数函数互为反函数，图像关于 y = x 对称
- 重要 对数运算三大性质：积的对数、商的对数、幂的对数
- 重要 换底公式是解决不同底对数问题的关键工具
方法与技巧
- 技巧 比较指数/对数大小：利用单调性和中间值法
- 技巧 解指数/对数方程时先确定定义域，再利用性质转化
- 技巧 对数运算优先化为同底运算，善用换底公式
- 重要 指数增长/衰减模型在实际生活中应用广泛
- 技巧 底数 a > 1 与 0 < a < 1 的性质相反，注意分类讨论