圆锥曲线的方程

解：

由焦点坐标知 $c = 3$，椭圆焦点在 x 轴上。

设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）

椭圆过点 $(5,0)$，代入得 $\frac{25}{a^2} = 1$，所以 $a^2 = 25$，$a = 5$

$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$

故椭圆方程为 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

解：

由椭圆方程知 $a^2 = 25$，$b^2 = 16$，$c^2 = a^2 - b^2 = 9$

$\theta = 60°$，由焦点三角形面积公式：

$S = b^2 \cdot \tan\frac{\theta}{2} = 16 \times \tan 30° = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

故 $\triangle F_1PF_2$ 的面积为 $\frac{16\sqrt{3}}{3}$。

解：

联立方程 $\begin{cases} y = x + m \\ x^2 + 4y^2 = 4 \end{cases}$

代入消 $y$：$x^2 + 4(x+m)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 8mx + 4m^2 = 4$

$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$

由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{8m}{5}$，$x_1 x_2 = \frac{4m^2-4}{5}$

弦长公式：$|AB| = \sqrt{1+1} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{64m^2}{25} - \frac{4(4m^2-4)}{5}}$

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{64m^2 - 80m^2 + 80}{25}}$

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{80 - 16m^2}{25}} = \frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-m^2}$

令 $\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-m^2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{5-m^2} = \frac{5}{3}$，$5-m^2 = \frac{25}{9}$

$m^2 = \frac{20}{9}$，$m = \pm\frac{2\sqrt{5}}{3}$

验证判别式 $\Delta > 0$：$\Delta = 64m^2 - 20(4m^2-4) = 80 - 16m^2 > 0$，成立。

故 $m = \pm\frac{2\sqrt{5}}{3}$。

解：

由方程知 $a^2 = 9$，$b^2 = 16$，所以 $a = 3$，$b = 4$

渐近线方程：$y = \pm\frac{b}{a}x = \pm\frac{4}{3}x$

$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$，$c = 5$

离心率：$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$

解：

抛物线 $y^2 = 8x$，$2p = 8$，$p = 4$，焦点 $F(2, 0)$

设直线 $l: y = \tan 60° \cdot (x - 2) = \sqrt{3}(x-2)$

联立：$\begin{cases} y = \sqrt{3}(x-2) \\ y^2 = 8x \end{cases}$

$3(x-2)^2 = 8x$，$3x^2 - 12x + 12 = 8x$

$3x^2 - 20x + 12 = 0$

$x_1 + x_2 = \frac{20}{3}$

焦点弦长：$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3}$

故弦长 $|AB| = \frac{32}{3}$。

解：

设弦两端点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则 $x_1 + x_2 = 4$，$y_1 + y_2 = 2$

将 $A$、$B$ 代入椭圆方程：

$\frac{x_1^2}{16} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \quad ①$

$\frac{x_2^2}{16} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \quad ②$

① - ② 得：$\frac{x_1^2 - x_2^2}{16} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{4} = 0$

$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4} = 0$

$\frac{4(x_1-x_2)}{16} + \frac{2(y_1-y_2)}{4} = 0$

$\frac{x_1-x_2}{4} + \frac{y_1-y_2}{2} = 0$

设弦斜率为 $k = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，则 $\frac{1}{4} + \frac{k}{2} = 0$

$k = -\frac{1}{2}$

直线方程：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$，即 $x + 2y - 4 = 0$

验证：联立 $x + 2y - 4 = 0$ 与椭圆方程，$\Delta > 0$，弦存在。

解：

设直线 $l: x = ty + 1$（$t$ 为参数，避免讨论斜率不存在的情况）

联立：$\begin{cases} x = ty + 1 \\ y^2 = 4x \end{cases}$

$y^2 = 4(ty + 1)$，$y^2 - 4ty - 4 = 0$

$y_1 + y_2 = 4t$，$y_1 y_2 = -4$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

$x_1 x_2 = (ty_1+1)(ty_2+1) = t^2 y_1 y_2 + t(y_1+y_2) + 1$

$= -4t^2 + 4t^2 + 1 = 1$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 + (-4) = -3$，条件满足。

说明对任意 $t$（$\Delta > 0$）都满足，即过 $M(1,0)$ 的任意直线均满足条件。

故直线 $AB$ 的方程为 $x = 1$（x轴）或 $x = ty + 1$（$t \neq 0$）

实际上，此题说明 $M(1,0)$ 即为焦点，过焦点的任意弦均满足 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -3$。