5.1 任意角和弧度制
1角的概念推广
在初中阶段，角的范围被限制在 0° 到 360° 之间。进入高中后，我们需要将角的概念进行推广，以适应更广泛的数学应用。
正角、负角与零角
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角
- 零角：一条射线没有作任何旋转，即旋转量为零的角
通过这种推广，角的大小可以超过 360°，也可以是负数，这使得角的概念更加完整和灵活。
2象限角与终边相同的角
将角的顶点置于坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边落在哪个象限，就称该角为第几象限角。
象限角
- 第一象限角：终边落在第一象限，即 α ∈ (2kπ, 2kπ + π/2)，k ∈ Z
- 第二象限角：终边落在第二象限，即 α ∈ (2kπ + π/2, 2kπ + π)，k ∈ Z
- 第三象限角：终边落在第三象限，即 α ∈ (2kπ + π, 2kπ + 3π/2)，k ∈ Z
- 第四象限角：终边落在第四象限，即 α ∈ (2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，k ∈ Z
注意：如果角的终边落在坐标轴上，则它不属于任何象限，称为轴线角（如 0°, 90°, 180°, 270° 等）。
终边相同的角的集合有无穷多个元素，它们之间相差 360° 的整数倍。
3弧度制
除了角度制外，我们还可以用弧度制来度量角的大小。弧度制在高等数学中应用更为广泛。
1 弧度的定义
长度等于半径的弧所对的圆心角的大小定义为 1 弧度（1 rad）。这是一个与半径无关的绝对量。
常见角度的弧度对应：0° = 0，30° = π/6，45° = π/4，60° = π/3，90° = π/2，120° = 2π/3，180° = π，270° = 3π/2，360° = 2π。
提示
弧度制与角度制之间不能混合使用。在同一个计算中，角的度量必须统一。建议在高中阶段逐步习惯使用弧度制，为大学的高等数学学习做准备。
例题 5.1.1
一个扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形半径为 r，弧长为 l，则周长为 l + 2r = 20，所以 l = 20 - 2r。
扇形面积 S = ½ · l · r = ½ · (20 - 2r) · r = 10r - r² = -(r - 5)² + 25。
当 r = 5 cm 时，S 取最大值 25 cm²。此时 l = 20 - 10 = 10 cm，α = l/r = 10/5 = 2 rad。
因此当圆心角为 2 弧度时，扇形面积最大，最大面积为 25 cm²。
5.2 三角函数的概念
1单位圆定义
三角函数的单位圆定义
在直角坐标系中，设角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合。以原点为圆心，1 为半径作单位圆，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x, y)。
- 正弦函数：sin α = y（点 P 的纵坐标）
- 余弦函数：cos α = x（点 P 的横坐标）
- 正切函数：tan α = y/x (x ≠ 0)
利用单位圆定义，三角函数的自变量从角（度数）扩展到实数（弧度），三角函数成为以实数为自变量的函数。这为研究三角函数的图像和性质提供了基础。
2三角函数在各象限的符号
由于各象限中点 P(x, y) 的坐标符号不同，三角函数在不同象限的符号也不同：
| 象限 | x 的符号 | y 的符号 | sin α = y | cos α = x | tan α = y/x |
|---|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | + | + | + | + | + |
| 第二象限 | - | + | + | - | - |
| 第三象限 | - | - | - | - | + |
| 第四象限 | + | - | - | + | - |
记忆口诀
"一全正，二正弦，三正切，四余弦" —— 意思是：第一象限全部为正，第二象限只有 sin 为正，第三象限只有 tan 为正，第四象限只有 cos 为正。
3同角三角函数基本关系
基本关系式
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
- 推论：1 + tan²α = 1/cos²α = sec²α
- 推论：1 + cot²α = 1/sin²α = csc²α
这些基本关系式是三角函数运算的基础。其中 sin²α + cos²α = 1 是最常用的恒等式之一，在三角函数的化简、证明、求值中频繁使用。
4特殊角的三角函数值
| 角 α | 0° (0) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 |
记忆技巧
sin 的值可记忆为：0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2，分别对应 0°, 30°, 45°, 60°, 90°，再进行化简即可。cos 的值与 sin 的值正好互为"倒序"关系。
例题 5.2.1
已知 sin α = 3/5，且 α 在第二象限，求 cos α 和 tan α 的值。
解：由 sin²α + cos²α = 1 得：
cos²α = 1 - sin²α = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25
因为 α 在第二象限，cos α < 0，所以 cos α = -4/5
tan α = sin α / cos α = (3/5) / (-4/5) = -3/4
5.3 诱导公式
1诱导公式概述
诱导公式用于将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，是三角函数计算和化简的重要工具。
核心口诀
"奇变偶不变，符号看象限"
这里的"奇偶"指的是 π/2 的奇数倍还是偶数倍：
- 奇变：若角度中 π/2 的倍数为奇数（如 π/2 ± α, 3π/2 ± α），则 sin 变 cos，cos 变 sin，tan 变 cot
- 偶不变：若角度中 π/2 的倍数为偶数（如 π ± α, 2π ± α, -α），则函数名不变
- 符号看象限：将 α 看作锐角，判断原式对应角所在象限，从而确定正负号
2诱导公式组
例题 5.3.1
求 sin(7π/6) 的值。
解：sin(7π/6) = sin(π + π/6)
利用公式二：sin(π + π/6) = -sin(π/6) = -1/2
例题 5.3.2
化简：sin(3π/2 + α) · cos(π + α) + sin(π - α) · cos(π/2 + α)
解：
sin(3π/2 + α) = -cos α （π/2 的 3 倍为奇数，sin 变 cos；3π/2 + α 看作第三象限，sin 为负）
cos(π + α) = -cos α （π/2 的 2 倍为偶数，不变；π + α 看作第三象限，cos 为负）
sin(π - α) = sin α （不变；π - α 看作第二象限，sin 为正）
cos(π/2 + α) = -sin α （π/2 的 1 倍为奇数，cos 变 sin；π/2 + α 看作第二象限，cos 为负）
原式 = (-cos α)(-cos α) + (sin α)(-sin α) = cos²α - sin²α
进一步可利用平方关系：cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α = cos 2α
5.4 三角函数的图像与性质
1正弦函数 y = sin x
正弦函数是最重要的三角函数之一，其图像是一条连续的波浪线。
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 定义域 | R（全体实数） |
| 值域 | [-1, 1] |
| 最小正周期 | T = 2π |
| 奇偶性 | 奇函数，sin(-x) = -sin x，图像关于原点对称 |
| 单调递增区间 | [2kπ - π/2, 2kπ + π/2]，k ∈ Z |
| 单调递减区间 | [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2]，k ∈ Z |
| 对称轴 | x = kπ + π/2，k ∈ Z |
| 对称中心 | (kπ, 0)，k ∈ Z |
| 最大值 | 1，在 x = 2kπ + π/2 处取得 |
| 最小值 | -1，在 x = 2kπ - π/2 处取得 |
2余弦函数 y = cos x
余弦函数的图像与正弦函数形状相同，只是在水平方向平移了 π/2。事实上，cos x = sin(x + π/2)。
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 定义域 | R（全体实数） |
| 值域 | [-1, 1] |
| 最小正周期 | T = 2π |
| 奇偶性 | 偶函数，cos(-x) = cos x，图像关于 y 轴对称 |
| 单调递增区间 | [2kπ - π, 2kπ]，k ∈ Z |
| 单调递减区间 | [2kπ, 2kπ + π]，k ∈ Z |
| 对称轴 | x = kπ，k ∈ Z |
| 对称中心 | (kπ + π/2, 0)，k ∈ Z |
3正切函数 y = tan x
正切函数的图像与正弦、余弦函数有明显不同：它有无穷多条渐近线，图像由一系列被渐近线隔开的连续曲线组成。
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 定义域 | {x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z} |
| 值域 | R（全体实数） |
| 最小正周期 | T = π |
| 奇偶性 | 奇函数，tan(-x) = -tan x，图像关于原点对称 |
| 单调递增区间 | (kπ - π/2, kπ + π/2)，k ∈ Z |
| 对称中心 | (kπ/2, 0)，k ∈ Z |
| 渐近线 | x = kπ + π/2，k ∈ Z |
注意
正切函数在每个开区间 (kπ - π/2, kπ + π/2) 内都是单调递增的，但在整个定义域上不是单调递增的。例如 tan(π/4) = 1 < tan(π/4 + π) = tan(5π/4) = 1，但当 x 从 π/4 增大到 5π/4 时，tan x 先趋向正无穷，再从负无穷增加到 1。
例题 5.4.1
求函数 y = 2sin(2x + π/6) 的单调递增区间、对称轴和对称中心。
解：
单调递增区间：令 2kπ - π/2 ≤ 2x + π/6 ≤ 2kπ + π/2，解得 kπ - π/3 ≤ x ≤ kπ + π/6
所以单调递增区间为 [kπ - π/3, kπ + π/6]，k ∈ Z
对称轴：令 2x + π/6 = kπ + π/2，解得 x = kπ/2 + π/6
对称轴为 x = kπ/2 + π/6，k ∈ Z
对称中心：令 2x + π/6 = kπ，解得 x = kπ/2 - π/12
对称中心为 (kπ/2 - π/12, 0)，k ∈ Z
5.5 三角恒等变换
1两角和与差公式
两角和与差公式是三角恒等变换的核心基础，其他很多公式都可以由它们推导出来。
sin(α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β
cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α · tan β)
记忆技巧
正弦和差公式中，"正余余正"（sin · cos + cos · sin），符号与角的加减号一致。
余弦和差公式中，"余余正正"（cos · cos ∓ sin · sin），符号与角的加减号相反。
正切和差公式：分子是两正切的和或差（与角一致），分母是 1 减去或加上两正切的积（与角相反）。
2二倍角公式
二倍角公式是两角和公式的特殊情形（令 α = β），在三角函数化简、求值和证明中应用极为广泛。
由余弦二倍角公式可推导出降幂公式：
3半角公式
半角公式由二倍角的余弦公式推导而来，用于已知某个三角函数值时求其半角的三角函数值。
cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]
tan(α/2) = ±√[(1 - cos α)/(1 + cos α)] = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
符号由 α/2 所在象限决定。tan(α/2) 的后两种形式不需要判断符号，因此在某些场合更为实用。
4辅助角公式
辅助角公式能将含有 sin 和 cos 的线性组合化为一个正弦函数的形式，在求最值和单调区间时非常有用。
其中 tan φ = b/a（由 a, b 的符号确定 φ 的象限）
也可以写成余弦形式：a·sin x + b·cos x = √(a² + b²) · cos(x - ψ)，其中 tan ψ = a/b。
5积化和差与和差化积
cos α · sin β = ½[sin(α+β) - sin(α-β)]
cos α · cos β = ½[cos(α-β) + cos(α+β)]
sin α · sin β = -½[cos(α+β) - cos(α-β)] = ½[cos(α-β) - cos(α+β)]
sin A - sin B = 2 cos[(A+B)/2] · sin[(A-B)/2]
cos A + cos B = 2 cos[(A+B)/2] · cos[(A-B)/2]
cos A - cos B = -2 sin[(A+B)/2] · sin[(A-B)/2]
例题 5.5.1
已知 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)，cos β = -5/13，β ∈ (π, 3π/2)，求 sin(α + β) 的值。
解：由 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)（第二象限），得 cos α = -4/5
由 cos β = -5/13，β ∈ (π, 3π/2)（第三象限），得 sin β = -12/13
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= (3/5)(-5/13) + (-4/5)(-12/13)
= -15/65 + 48/65
= 33/65
例题 5.5.2
求函数 y = sin x + √3 · cos x 的最大值和最小正周期。
解：利用辅助角公式：
y = sin x + √3 · cos x = √(1 + 3) · sin(x + φ) = 2 sin(x + π/3)
其中 tan φ = √3/1 = √3，φ = π/3
最大值为 2，最小正周期为 T = 2π
5.6 y = Asin(ωx + φ) 的图像与性质
1参数的含义
y = A sin(ωx + φ) 中各参数的意义
- A（振幅）：A > 0，表示函数值偏离平衡位置的最大距离，即值域为 [-A, A]
- ω（角频率）：ω > 0，决定函数的周期 T = 2π/ω
- φ（初相）：决定函数图像在 x 轴方向上的平移量
- ωx + φ（相位）：描述函数在某一时刻所处的状态
2图像变换
从 y = sin x 到 y = A sin(ωx + φ) 的图像变换有两种顺序，最终结果相同但过程不同：
方法一：先平移后伸缩
- 左右平移：y = sin x → y = sin(x + φ)（向左平移 φ 个单位，φ > 0；向右平移 |φ| 个单位，φ < 0）
- 横向伸缩：y = sin(x + φ) → y = sin(ωx + φ)（横坐标缩短为原来的 1/ω，ω > 1 时缩短；0 < ω < 1 时伸长）
- 纵向伸缩：y = sin(ωx + φ) → y = A sin(ωx + φ)（纵坐标变为原来的 A 倍）
方法二：先伸缩后平移
- 横向伸缩：y = sin x → y = sin ωx（横坐标缩短为原来的 1/ω）
- 左右平移：y = sin ωx → y = sin(ωx + φ) = sin[ω(x + φ/ω)]（向左平移 φ/ω 个单位）
- 纵向伸缩：y = sin(ωx + φ) → y = A sin(ωx + φ)（纵坐标变为原来的 A 倍）
重要提醒
方法一中的平移量是 |φ|，方法二中的平移量是 |φ/ω|。两者不同！容易出错的地方是先伸缩后平移时，平移量是 φ/ω 而非 φ。
3y = A sin(ωx + φ) 的性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 定义域 | R |
| 值域 | [-A, A]，最大值为 A，最小值为 -A |
| 周期 | T = 2π/ω |
| 频率 | f = 1/T = ω/(2π) |
| 单调递增区间 | 由 2kπ - π/2 ≤ ωx + φ ≤ 2kπ + π/2 解得 |
| 单调递减区间 | 由 2kπ + π/2 ≤ ωx + φ ≤ 2kπ + 3π/2 解得 |
| 对称轴 | ωx + φ = kπ + π/2，即 x = (kπ + π/2 - φ)/ω |
| 对称中心 | ωx + φ = kπ，即 x = (kπ - φ)/ω，y = 0 |
例题 5.6.1
函数 y = 2sin(2x - π/6) 的图像可由 y = sin x 的图像经过怎样的变换得到？
解（方法一：先平移后伸缩）：
① y = sin x 向右平移 π/6 个单位 → y = sin(x - π/6)
② 横坐标缩短为原来的 1/2 → y = sin(2x - π/6)
③ 纵坐标变为原来的 2 倍 → y = 2sin(2x - π/6)
解（方法二：先伸缩后平移）：
① y = sin x 横坐标缩短为原来的 1/2 → y = sin 2x
② 向右平移 π/12 个单位 → y = sin[2(x - π/12)] = sin(2x - π/6)
③ 纵坐标变为原来的 2 倍 → y = 2sin(2x - π/6)
5.7 三角函数的应用
1三角函数在实际中的应用
三角函数在自然界和工程技术中有广泛的应用，凡是具有周期性变化规律的现象，都可以用三角函数来描述。
简谐运动
弹簧振子、单摆等简谐运动可以用 x = A sin(ωt + φ) 描述，其中 x 表示位移，t 表示时间。
交流电
家用交流电的电压和电流是时间的正弦函数。我国交流电频率为 50 Hz，周期 T = 0.02 s。
声波与音乐
声音的本质是空气的振动，纯音可以用正弦函数描述。不同音高的频率不同，音量由振幅决定。
潮汐与天体运动
潮水的涨落具有明显的周期性，可以用三角函数进行近似描述和预测。
例题 5.7.1
某地一天的温度变化可用函数 T(t) = 10sin(πt/12 - π/6) + 20 来近似描述，其中 t（小时）表示从凌晨 0 点开始的时间，T 表示温度（摄氏度）。求：
(1) 一天中的最高温度和最低温度；(2) 温度最高和最低的时刻。
解：
(1) sin(πt/12 - π/6) 的值域为 [-1, 1]，
最高温度 = 10 × 1 + 20 = 30°C
最低温度 = 10 × (-1) + 20 = 10°C
(2) 温度最高时：sin(πt/12 - π/6) = 1，即 πt/12 - π/6 = π/2 + 2kπ
解得 t = 12 × (1/2 + 1/6) + 24k = 8 + 24k
在 0 ≤ t < 24 内，t = 8，即 上午 8 点温度最高
温度最低时：sin(πt/12 - π/6) = -1，即 πt/12 - π/6 = -π/2 + 2kπ
解得 t = 12 × (-1/2 + 1/6) + 24k = -4 + 24k
在 0 ≤ t < 24 内，t = 20，即 晚上 8 点（20时）温度最低
例题 5.7.2
已知 f(x) = 2sin(ωx + φ)（ω > 0, 0 < φ < π），函数的最小正周期为 π，且 f(π/6) = 2。求 ω 和 φ 的值。
解：由周期 T = 2π/ω = π，得 ω = 2
所以 f(x) = 2sin(2x + φ)
由 f(π/6) = 2，得 2sin(2 × π/6 + φ) = 2，即 sin(π/3 + φ) = 1
所以 π/3 + φ = π/2 + 2kπ，φ = π/6 + 2kπ
又 0 < φ < π，所以 φ = π/6
因此 f(x) = 2sin(2x + π/6)
本章知识总结
基础概念
- 任意角的概念（正角、负角、零角）
- 弧度制与角度制的换算
- 弧长公式和扇形面积公式
- 三角函数的单位圆定义
基本公式
- 同角三角函数基本关系
- 诱导公式六组
- 两角和与差公式
- 二倍角、半角公式
- 辅助角公式
- 积化和差与和差化积
图像与应用
- 三大三角函数的图像和性质
- y = Asin(ωx + φ) 的图像变换
- 参数 A, ω, φ 的几何意义
- 周期现象的数学建模