一元二次函数、方程和不等式

解：由 c < d < 0，得 -c > -d > 0，即 |c| > |d| > 0。

又 a > b > 0，由同向同正可乘：a|c| > b|d|，即 a(-c) > b(-d)，

所以 -ac > -bd，故 ac < bd。

解：

a + b：由同向可加，2 + 3 < a + b < 5 + 10，即 5 < a + b < 15。

a - b：由 3 < b < 10，得 -10 < -b < -3。又 2 < a < 5，同向可加得 2 + (-10) < a - b < 5 + (-3)，即 -8 < a - b < 2。

ab：a, b 同为正数，由同向同正可乘，2 × 3 < ab < 5 × 10，即 6 < ab < 50。

解：x > 0 满足"一正"条件。x 和 1/x 的乘积 x · (1/x) = 1 为定值，满足"二定"。

由均值不等式：x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2√1 = 2

当且仅当 x = 1/x，即 x = 1 时等号成立（满足"三相等"）。

故 f(x)_min = 2，当 x = 1 时取到。

解：x, y > 0 满足"一正"。x + y = 4 为定值，满足"二定"。

由均值不等式：√(xy) ≤ (x + y)/2 = 4/2 = 2

所以 xy ≤ 4，当且仅当 x = y = 2 时等号成立。

故 (xy)_max = 4。

解：因为 x > 2，所以 x - 2 > 0。

f(x) = x + 1/(x - 2) = (x - 2) + 1/(x - 2) + 2

令 t = x - 2 > 0，则 t + 1/t ≥ 2√(t · 1/t) = 2，当 t = 1 时取等。

故 f(x) ≥ 2 + 2 = 4，当 x - 2 = 1，即 x = 3 时等号成立。

故 f(x)_min = 4，当 x = 3 时取到。

解：由 a + 2b = 1，利用"乘1法"：

1/a + 1/b = (1/a + 1/b) · 1 = (1/a + 1/b)(a + 2b)

= 1 + 2b/a + a/b + 2 = 3 + 2b/a + a/b

由均值不等式：2b/a + a/b ≥ 2√(2b/a · a/b) = 2√2

当且仅当 2b/a = a/b，即 a = √2 · b 时等号成立。

联立 a + 2b = 1 和 a = √2 · b，解得 b = 1/(2 + √2)，a = √2/(2 + √2)。

故 (1/a + 1/b)_min = 3 + 2√2。

解：a = -2, b = 4, c = 1

对称轴：x = -b/(2a) = -4/(2 × (-2)) = 1

顶点纵坐标：k = (4ac - b²)/(4a) = (4×(-2)×1 - 16)/(4×(-2)) = (-8-16)/(-8) = 3

顶点坐标：(1, 3)

最大值：f(x)_max = 3（因为 a = -2 < 0，开口向下）

单调递增区间：(-∞, 1]；单调递减区间：[1, +∞)

解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 5/2，x₁x₂ = 1/2

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (5/2)² - 2 × 1/2 = 25/4 - 1 = 21/4

(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 25/4 - 2 = 17/4

|x₁ - x₂| = √(17/4) = √17 / 2

验证：Δ = 25 - 8 = 17 > 0，方程有两个不等实根。√Δ/|a| = √17/2 ✓

解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = m

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 9 - 2m = 5

解得 m = 2。验证：Δ = 9 - 4 × 2 = 1 > 0 ✓

故 m = 2。

解：a = 1 > 0，Δ = 25 - 24 = 1 > 0

方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根：x₁ = 2，x₂ = 3

画出开口向上的抛物线，与 x 轴交于 x = 2 和 x = 3

要求 > 0（x 轴上方），即取两边。

解集为 {x | x < 2 或 x > 3} = (-∞, 2) ∪ (3, +∞)

解：a = -2 < 0，先两边乘 -1（变号）：2x² - 3x - 2 ≤ 0

Δ = 9 + 16 = 25 > 0，方程 2x² - 3x - 2 = 0 的两根：

x = (3 ± 5) / 4，即 x₁ = -1/2，x₂ = 2

要求 2x² - 3x - 2 ≤ 0（取两根之间），

解集为 {x | -1/2 ≤ x ≤ 2} = [-1/2, 2]

解：a = 1 > 0，Δ = 4 - 12 = -8 < 0

Δ < 0 且 a > 0，抛物线在 x 轴上方，恒成立。

解集为 R（对所有实数 x 都成立）。

解：解集为 (-1, 2)，说明 a < 0（开口向下），且 x = -1 和 x = 2 是方程 ax² + bx + 2 = 0 的两根。

由韦达定理：

x₁ + x₂ = -1 + 2 = 1 = -b/a ⇒ b = -a

x₁ · x₂ = (-1) × 2 = -2 = 2/a ⇒ a = -1

所以 b = -(-1) = 1

a = -1，b = 1。验证：-x² + x + 2 > 0 ⇔ x² - x - 2 < 0 ⇔ (x+1)(x-2) < 0 ⇔ -1 < x < 2 ✓

解：(a + 1/a)(b + 1/b) = ab + a/b + b/a + 1/(ab)

由 a + b = 4 和均值不等式：ab ≤ (a+b)²/4 = 4，当 a = b = 2 时取等。

又 a/b + b/a ≥ 2√(a/b · b/a) = 2，当 a = b 时取等。

当 a = b = 2 时：ab = 4，a/b + b/a = 2，1/(ab) = 1/4

(a + 1/a)(b + 1/b) = 4 + 2 + 1/4 = 25/4

（需要验证此时各项均取到等号且条件一致。a = b = 2 满足 a + b = 4，故最小值为 25/4。）

解：不等式恒成立，要求抛物线始终在 x 轴上方，即 Δ < 0。

Δ = (2a)² - 4(a + 2) = 4a² - 4a - 8 < 0

a² - a - 2 < 0 ⇔ (a + 1)(a - 2) < 0

a ∈ (-1, 2)

解：设两根为 x₁, x₂，需同时满足：

(1) Δ ≥ 0（有实根）：(k+1)² - 4k ≥ 0 ⇔ (k-1)² ≥ 0，恒成立。

(2) x₁ + x₂ > 0（两根之和为正）：k + 1 > 0 ⇔ k > -1

(3) x₁x₂ > 0（两根之积为正）：k > 0

综合三个条件：k > 0