必修一 · 第一章

集合与常用逻辑用语

集合语言是数学的基础工具，常用逻辑用语是推理的基础

1.1 集合的概念与表示

◆ 集合的定义

把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，这个整体就是集合（set），集合中的每个对象叫做集合的元素（element）。

◆ 元素的三大特性

确定性

给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合是确定的，即"非此即彼"，不允许模棱两可。

例：“个子高的人”不能构成集合（标准不确定）；“大于3的自然数”可以构成集合。

互异性

集合中的元素是互不相同的，即同一个元素不能在集合中重复出现。

例：集合 {1, 2, 2, 3} 应写为 {1, 2, 3}。

无序性

集合中的元素没有先后顺序之分，交换元素位置不改变集合。

例：{1, 2, 3} = {3, 1, 2}。

◆ 集合的表示方法

（1）列举法

把集合中的元素一一列举出来，写在花括号 {} 内。

示例 A = {1, 2, 3}，B = {a, b, c}，C = {1, 2, 3, …}（无限集用省略号）

（2）描述法

用集合中元素的共同特征来描述集合，一般形式为：

描述法一般形式 { x | P(x) }，其中 x 为代表元素，P(x) 为元素满足的条件

例：{x | x² - 1 = 0} = {-1, 1}；{x | x > 0} 表示所有正实数。

（3）图示法（Venn 图）

用封闭曲线（通常为圆）表示集合，直观地展示集合之间的关系。

◆ 常用数集符号

符号 含义 说明
N自然数集{0, 1, 2, 3, …}
N*（或 N₊）正整数集{1, 2, 3, …}
Z整数集{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q有理数集可以表示为分数 p/q 的数
R实数集有理数与无理数的全体

空集

空集记作 ∅，是不含任何元素的集合。空集是唯一的。注意区分 ∅、{0}、{∅} 的区别：

例题 1.1

用列举法表示集合 A = {x | x² - 5x + 6 = 0}。

解：解方程 x² - 5x + 6 = 0，因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0，

所以 x = 2 或 x = 3，故 A = {2, 3}。

例题 1.2

判断下列哪些能构成集合：(1) 所有的直角三角形；(2) 好看的颜色；(3) 不超过10的正整数。

解：

(1) 能。“直角三角形”具有确定的判定标准。

(2) 不能。“好看”没有确定标准，不满足确定性。

(3) 能。即 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。

1.2 集合之间的关系

◆ 子集

子集的定义

如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。

符号表示 A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B

◆ 真子集

真子集的定义

如果 A ⊆ B，且 A ≠ B（即 B 中至少有一个元素不属于 A），那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

符号表示 A ⊂ B ⇔ A ⊆ B 且 A ≠ B

◆ 集合相等

集合相等的定义

如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，则称 A 与 B 相等，记作 A = B。

充要条件 A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A

空集的重要性质

◆ 子集关系的性质总结

性质 内容 说明
自反性A ⊆ A任何集合是自身的子集
空集子集∅ ⊆ A空集是任何集合的子集
传递性A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C子集关系具有传递性
元素个数含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集真子集有 2ⁿ - 1 个，非空子集有 2ⁿ - 1 个
非空真子集含 n 个元素的集合有 2ⁿ - 2 个非空真子集排除空集和自身

例题 1.3

写出集合 {a, b, c} 的所有子集、真子集和非空子集。

解：n = 3，子集个数为 2³ = 8。

所有子集：∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}

真子集（排除自身）：∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}，共 7 个

非空子集（排除空集）：{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}，共 7 个

例题 1.4

已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - x = 0}，判断 A 与 B 的关系。

解：A = {x | (x-1)(x-2) = 0} = {1, 2}

B = {x | x(x-1) = 0} = {0, 1}

A 中的元素 2 ∉ B，B 中的元素 0 ∉ A，故 A ⊈ B 且 B ⊈ A，即 A ≠ B，且无包含关系。

1.3 集合的基本运算

◆ 交集

交集

由既属于 A 又属于 B 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集。

定义 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}

性质：

  • A ∩ A = A
  • A ∩ ∅ = ∅
  • A ∩ B = B ∩ A（交换律）
  • A ∩ B ⊆ A，A ∩ B ⊆ B

◆ 并集

并集

由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集。

定义 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}

性质：

  • A ∪ A = A
  • A ∪ ∅ = A
  • A ∪ B = B ∪ A（交换律）
  • A ⊆ A ∪ B，B ⊆ A ∪ B

◆ 补集

补集

设全集为 U，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 ∁UA。

定义 ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}

性质：

德摩根定律（De Morgan's Laws）

设 U 为全集，A、B 是 U 的子集，则：

德摩根定律 ∁U(A ∩ B) = (∁UA) ∪ (∁UB)
∁U(A ∪ B) = (∁UA) ∩ (∁UB)

记忆口诀：补交变并，补并变交（取补后，交并互换）。

例题 1.5

设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {1, 2, 3, 5}，B = {2, 4, 6}，求 A ∩ B，A ∪ B，∁UA，∁U(A ∩ B)。

解：

A ∩ B = {2}（A 和 B 的公共元素）

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}（A 和 B 的所有元素）

∁UA = {4, 6, 7, 8}（U 中不在 A 中的元素）

∁U(A ∩ B) = ∁U{2} = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

验证德摩根定律：(∁UA) ∪ (∁UB) = {4,6,7,8} ∪ {1,3,5,7,8} = {1,3,4,5,6,7,8} = ∁U(A ∩ B) ✓

例题 1.6

已知集合 A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | 2 < x < 5}，求 A ∩ B 和 A ∪ B。

解：用数轴表示两个集合：

A = [-1, 3]，B = (2, 5)

A ∩ B = (2, 3]（两区间重叠部分，注意端点开闭）

A ∪ B = [-1, 5)（两区间的并集）

1.4 充分条件与必要条件

◆ 命题与推出关系

如果由条件 p 经过推理可以得出结论 q，即 p ⇒ q，则称 p 可以推出 q。

充分条件

若 p ⇒ q，则称 p 是 q 的充分条件（有了 p 就足够保证 q 成立）。

例：x = 1 ⇒ x² = 1，故“x = 1”是“x² = 1”的充分条件。

必要条件

若 p ⇒ q，则称 q 是 p 的必要条件（q 是 p 成立的必要前提）。

例：x = 1 ⇒ x² = 1，故“x² = 1”是“x = 1”的必要条件。

充要条件

若 p ⇒ q 且 q ⇒ p（即 p ⇔ q），则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。

例：x ≥ 1 且 x ≤ 1 ⇔ x = 1，故“x = 1”是“x ≥ 1 且 x ≤ 1”的充要条件。

判断充要条件的方法

方法一（定义法）：直接验证 p ⇒ q 和 q ⇒ p 是否成立。

方法二（集合法）：若 p 对应集合 A，q 对应集合 B，则：

例题 1.7

判断下列各题中，p 是 q 的什么条件：

(1) p: x > 1，q: x > 0； (2) p: x² = 4，q: x = 2； (3) p: x 是偶数，q: x 是整数。

解：

(1) x > 1 ⇒ x > 0（成立），但 x > 0 ⇏ x > 1（如 x = 0.5），所以 p 是 q 的充分不必要条件。

(2) x = 2 ⇒ x² = 4（成立），但 x² = 4 ⇏ x = 2（还可能是 x = -2），所以 p 是 q 的必要不充分条件。

(3) x 是偶数 ⇒ x 是整数（成立），但 x 是整数 ⇏ x 是偶数（如 x = 1），所以 p 是 q 的充分不必要条件。

1.5 全称量词与存在量词

◆ 全称量词

全称量词 ∀

全称量词“对所有的”“任意一个”“每一个”，用符号 ∀ 表示。

全称命题 ∀x ∈ M, P(x)
表示"对 M 中的每一个 x，P(x) 都成立"

例：∀x ∈ R, x² ≥ 0（对任意实数 x，x² ≥ 0 恒成立）。

◆ 存在量词

存在量词 ∃

存在量词“存在”“至少有一个”“有些”，用符号 ∃ 表示。

特称命题 ∃x ∈ M, P(x)
表示"在 M 中至少存在一个 x，使 P(x) 成立"

例：∃x ∈ R, x² = 4（存在实数 x 使得 x² = 4）。

命题的否定规则

全称命题与特称命题的否定有严格的规则：

原命题 否定形式 量词变化 结论变化
∀x ∈ M, P(x) ∃x ∈ M, ¬P(x) ∀ → ∃ P(x) → ¬P(x)
∃x ∈ M, P(x) ∀x ∈ M, ¬P(x) ∃ → ∀ P(x) → ¬P(x)

易错提醒

否定命题时，只改变量词并否定结论，不能同时改变条件。特别注意：

  • “∀” 的否定是 “∃”，不能只否定结论不换量词。
  • “∃” 的否定是 “∀”，不能只换量词不否定结论。
  • 否定结论时要注意全面：如 “≥” 的否定是 “<”，不是 “≤”。

例题 1.8

写出下列命题的否定，并判断真假：

(1) ∀x ∈ R, x² > 0； (2) ∃x ∈ R, x² + 1 = 0； (3) ∀x ∈ R, x² + x + 1 > 0。

解：

(1) 否定：∃x ∈ R, x² ≤ 0。取 x = 0，0² = 0 ≤ 0，故否定为真，原命题为假。

(2) 否定：∀x ∈ R, x² + 1 ≠ 0。因 x² + 1 ≥ 1 > 0，故否定为真，原命题为假。

(3) 否定：∃x ∈ R, x² + x + 1 ≤ 0。由判别式 Δ = 1 - 4 = -3 < 0，且开口向上，x² + x + 1 > 0 恒成立，故否定为假，原命题为真。

例题 1.9

已知命题 p: ∀x ∈ [1, 2], x² - a ≥ 0 为真命题，求实数 a 的取值范围。

解：由题意，对任意 x ∈ [1, 2]，x² ≥ a 恒成立。

即 a ≤ x² 对所有 x ∈ [1, 2] 成立，等价于 a ≤ (x²)min。

在 [1, 2] 上，x² 的最小值为 1² = 1。

故 a ≤ 1。

综合练习

练习 1

已知集合 A = {x | x² - 4x + 3 ≤ 0}，B = {x | 2 < x < 4}，求 A ∩ B 和 ∁RA。

解：A = {x | (x-1)(x-3) ≤ 0} = [1, 3]

A ∩ B = [1, 3] ∩ (2, 4) = (2, 3]

∁RA = (-∞, 1) ∪ (3, +∞)

练习 2

已知 A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m+1 ≤ x ≤ 2m-1}，若 B ⊆ A，求 m 的取值范围。

解：

情况一：B = ∅，此时 m+1 > 2m-1，解得 m < 2。空集是任何集合的子集，满足条件。

情况二：B ≠ ∅，此时 m+1 ≤ 2m-1，即 m ≥ 2。要使 B ⊆ A，则：

m + 1 ≥ -2 且 2m - 1 ≤ 5

m ≥ -3 且 m ≤ 3

又 m ≥ 2，故 2 ≤ m ≤ 3。

综合：m ≤ 3，即 m ∈ (-∞, 3]。

练习 3

设 p: x² - 2x - 3 ≤ 0，q: x² - 2mx + m² - 4 ≤ 0。若 p 是 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围。

解：p 对应集合 A = [-1, 3]，q 对应集合 B = [m-2, m+2]。

p 是 q 的充分不必要条件，即 A ⊂ B。

所以 m - 2 < -1 且 m + 2 > 3（严格包含，A ≠ B）。

解得 m < 1 且 m > 1，矛盾？

注意：等号可取一端。由 A ⊆ B：m - 2 ≤ -1 且 m + 2 ≥ 3，即 m ≤ 1 且 m ≥ 1，故 m = 1。

验证：B = [-1, 3] = A，此时 A = B，不满足充分不必要（应为充要）。

重新检查：需 A ⊂ B（真子集），即 m - 2 < -1 或 m + 2 > 3（至少一端严格），且两端满足 A ⊆ B。

m - 2 ≤ -1 且 m + 2 ≥ 3，得 m = 1。此时 A = B，不是真子集。

因此无解？实际上应理解为 A 是 B 的子集（p 是 q 的充分条件），且 p ≠ q（不必要），即m - 2 ≤ -1 且 m + 2 ≥ 3，且至少一个不等号严格。

m ≤ 1 且 m ≥ 1，只能 m = 1，此时两端都是等号，A = B。

所以此题条件应理解为A ⊂ B（A 真包含于 B），需要 m - 2 < -1 且 m + 2 > 3，即 m < 1 且 m > 1，无解。

实际上题目条件充分不必要通常允许 A = B 被排除，正确的理解是需要 A 严格包含于 B，即不存在这样的 m。

本章知识总结