8.1 基本立体图形
立体几何研究的是空间中的几何图形。高中阶段需要掌握的基本立体图形包括棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球七大类。理解它们的结构特征是学好立体几何的基础。
多面体
两个底面平行且全等的多边形，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面
- 斜棱柱：侧棱不垂直于底面
- 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱
核心 三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）
一个底面是多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形。
- 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面中心
- 侧面是全等的等腰三角形
- 正四面体：底面和侧面都是等边三角形
重点 三棱锥（四面体）、四棱锥
用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 上下底面平行且相似
- 侧面是梯形
- 侧棱延长后交于一点
拓展 棱台是棱锥的"截断"形式
旋转体
矩形绕其一边所在直线旋转一周所得的几何体。
- 两个底面是平行且全等的圆
- 侧面展开图为矩形
- 轴截面为矩形
直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周所得的几何体。
- 底面是圆
- 侧面展开图为扇形
- 轴截面为等腰三角形
直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周所得的几何体。
- 上下底面是平行的圆（大小不同）
- 侧面展开图为扇环
- 也可看作平行于圆锥底面截圆锥所得
半圆绕其直径所在直线旋转一周所得的几何体。
- 球面上所有点到球心的距离相等
- 用一个平面截球，截面总是圆
- 过球心的截面为大圆
旋转体都是由一个平面图形绕一条直线旋转而成的。矩形→圆柱，直角三角形→圆锥，直角梯形→圆台，半圆→球。理解生成过程有助于正确画出旋转体的直观图和轴截面。
8.2 立体图形的直观图
在平面（纸面）上表示空间图形，需要采用特定的画法。高中阶段主要学习斜二测画法来画水平放置的平面图形的直观图。
斜二测画法的规则
斜二测画法是绘制空间图形直观图的常用方法，其基本规则如下：
- 建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O。
- 画新轴：画直观图时，对应画出 x' 轴和 y' 轴，两轴交于 O'，使 ∠x'O'y' = 45°（或 135°）。
- x' 轴方向：平行于 x' 轴的线段长度不变。
- y' 轴方向：平行于 y' 轴的线段长度变为原来的一半。
"横不变，纵减半，夹角四十五"——这是斜二测画法的核心口诀。x' 方向线段长度不变，y' 方向线段长度减半，x' 与 y' 的夹角为 45° 或 135°。
画出边长为 2cm 的正方形 OABC 的斜二测直观图。
解：
（1）在原图中，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OC 为 y 轴，建立直角坐标系。
（2）在直观图中，画 x' 轴和 y' 轴，使 ∠x'O'y' = 45°。
（3）在 x' 轴上取 O'A' = OA = 2cm（x' 方向不变）。
（4）在 y' 轴方向上取 O'C' = OC/2 = 1cm（y' 方向减半）。
（5）过 A' 作 y' 轴的平行线，取 A'B' = 1cm；过 C' 作 x' 轴的平行线，与 A'B' 的延长线交于 B'。
（6）连接 O'A'B'C'，所得平行四边形即为正方形的直观图。直观图的面积为原正方形面积的 √2/4 倍。
即直观图的面积是原图面积的 √2/4 ≈ 0.354 倍。
8.3 简单几何体的表面积与体积
表面积和体积是立体几何中最基本的度量问题。以下总结了高中阶段要求掌握的七大几何体的表面积与体积公式。
表面积与体积公式汇总
| 几何体 | 表面积公式 | 体积公式 | 关键参数 |
|---|---|---|---|
| 棱柱 | S = S侧 + 2S底 | V = S底 · h | h 为高（两底面间的距离） |
| 棱锥 | S = S侧 + S底 | V = ⅓S底 · h | h 为顶点到底面的距离 |
| 棱台 | S = S侧 + S上底 + S下底 | V = ⅓(S&sub1; + S&sub2; + √(S&sub1;S&sub2;))h | S&sub1;, S&sub2; 为上下底面积 |
| 圆柱 | S = 2πrh + 2πr² | V = πr²h | r 为底面半径，h 为高 |
| 圆锥 | S = πrl + πr² | V = ⅓πr²h | r 为底面半径，l 为母线长，h 为高 |
| 圆台 | S = π(r&sub1; + r&sub2;)l + πr&sub1;² + πr&sub2;² | V = ⅓π(r&sub1;² + r&sub2;² + r&sub1;r&sub2;)h | r&sub1;, r&sub2; 为上下底半径 |
| 球 | S = 4πR² | V = &frac43;πR³ | R 为球的半径 |
重要公式详解
圆柱的侧面展开图是一个矩形，其一边长为底面周长 2πr，另一边长为高 h。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为母线长 l，弧长为底面周长 2πr。
重要 注意 r、l、h 之间的关系：l² = r² + h²（由勾股定理）。
核心 球的表面积公式与体积公式之间存在关系：V = R/3 · S。即体积等于半径乘以表面积再除以3。
棱柱（圆柱）、棱锥（圆锥）、棱台（圆台）的体积公式之间存在递进关系：
- 柱体：V = Sh
- 锥体：V = ⅓Sh（柱体体积的 1/3）
- 台体：V = ⅓(S&sub1; + S&sub2; + √(S&sub1;S&sub2;))h
当台体的上底面面积 S&sub2; = 0 时（退化为锥体），公式简化为 V = ⅓S&sub1;h；当 S&sub2; = S&sub1; 时（退化为柱体），公式简化为 V = S&sub1;h。
一个圆柱的底面半径为 3，高为 4，求其全面积和体积。
解：
底面积 = π × 3² = 9π
侧面积 = 2π × 3 × 4 = 24π
全面积 S = 24π + 2 × 9π = 42π
体积 V = π × 3² × 4 = 36π
一个圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，求其体积。
解：先求高 h：由 l² = r² + h²，得 h = √(l² - r²) = √(25 - 9) = 4。
体积 V = ⅓πr²h = ⅓π × 9 × 4 = 12π
已知球的半径为 R = 5，用一个平面截球，截面圆的半径为 3，求截面到球心的距离。
解：设截面到球心的距离为 d。由勾股定理：
r² + d² = R²
9 + d² = 25
d² = 16
d = 4
（截面到球心的距离为 4。注意：截面半径 r、球心到截面距离 d、球半径 R 构成直角三角形。）
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
立体几何的推理建立在公理体系之上。以下是立体几何最基本的四大公理和三个推论，它们是后续所有定理和证明的基石。
四大公理
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
核心 用于判断直线是否在平面内。"两点确定一条直线"在空间中的推广。
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
核心 即"不共线的三点确定一个平面"，是确定平面的最基本条件。
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
核心 两个平面要么没有公共点（平行），要么相交于一条直线。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
核心 空间中平行关系的传递性，即若 a // b，b // c，则 a // c。
三个推论
由公理 2 可以推出以下三个确定平面的条件（"有且只有一个平面"）：
| 推论 | 条件 | 说明 |
|---|---|---|
| 推论 1 | 一条直线和直线外一点 | 直线上的两点加上直线外的一点，共三点不共线 |
| 推论 2 | 两条相交直线 | 交点与两条直线上各取一点，三点不共线 |
| 推论 3 | 两条平行直线 | 两条平行直线上各取两点，可找到不共线的三点 |
空间中的位置关系
空间中两条直线的位置关系有三种：
- 平行：在同一平面内且没有公共点（a // b）
- 相交：在同一平面内且有唯一公共点（a ∩ b = P）
- 异面：不在任何一个平面内（既不平行也不相交）
重点 异面直线是空间中特有的位置关系，平面上不存在异面关系。判断异面直线可用反证法或异面直线判定定理。
过空间中任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）称为两条异面直线所成的角。
异面直线所成角的范围是 (0°, 90°]。
一条直线与一个平面的位置关系有三种：
- 直线在平面内：直线上所有点都在平面内（有无数个公共点）
- 直线与平面平行：没有公共点（l // α）
- 直线与平面相交：有且只有一个公共点（l ∩ α = P）
两个平面的位置关系有两种：
- 平行：没有公共点（α // β）
- 相交：有一条公共直线（α ∩ β = l）
拓展 两个平面垂直是相交的特殊情况。
8.5 空间直线、平面的平行
空间中的平行关系包括线线平行、线面平行、面面平行三种，它们之间存在相互转化的关系。掌握判定定理和性质定理是本节的重点。
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
核心 要证线面平行，关键是在平面内找到（或构造）一条与已知直线平行的直线。
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
即线面平行可以推出线线平行——过已知直线作辅助平面，交线即为平行线。
面面平行
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
重点 必须是两条相交直线都平行于另一个平面。如果只是两条平行直线，则不能判定面面平行。
两个平行平面被第三个平面所截，所得两条交线互相平行。
线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化：
- 线线平行 ⇒ 线面平行：利用判定定理（平面外直线平行于平面内直线）
- 线面平行 ⇒ 线线平行：利用性质定理（作辅助平面取交线）
- 线面平行 ⇒ 面面平行：利用判定定理（找两条相交直线）
- 面面平行 ⇒ 线面平行：一个平面内的任意直线与另一个平面平行
- 面面平行 ⇒ 线线平行：利用性质定理（截面与两平行平面的交线平行）
在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 是 PA 的中点。求证：PC // 平面 BDE。
证明：连接 AC，设 AC 与 BD 交于点 O。
因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
在 ▵PAC 中，E 是 PA 的中点，O 是 AC 的中点，
所以 EO 是 ▵PAC 的中位线，EO // PC。
又因为 EO ⊂ 平面 BDE，PC ∉ 平面 BDE，
由线面平行判定定理，得 PC // 平面 BDE。□
8.6 空间直线、平面的垂直
垂直关系是立体几何中最重要的位置关系之一。本节涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直三种关系及其相互转化。
线面垂直
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
重点 必须是两条相交直线。线面垂直意味着直线与平面内的所有直线都垂直。
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
此性质定理的逆命题也成立，因此可以作为线面垂直的一个判定方法。
- 若 l ⊥ α，则 l 垂直于 α 内的所有直线
- 若 l ⊥ α，m // l，则 m ⊥ α（垂直的传递性）
- 若 l ⊥ α，l // β，则 α ⊥ β
- 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
即要证明两个平面垂直，只需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面。
两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
重点 这是立体几何中"面面垂直 ⇒ 线面垂直"的桥梁定理，题目中出现面面垂直的条件时，通常要利用这个性质。
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用其平面角来度量。平面角是直角的二面角称为直二面角（即两平面垂直）。
- 确定二面角的棱和两个面
- 在棱上选一个合适的点
- 分别在两个面内作棱的垂线（关键步骤）
- 这两条垂线所成的角即为二面角的平面角
- 在三角形中利用余弦定理或其他方法求角
垂直关系的证明方法总结
| 目标 | 思路 | 常用条件 |
|---|---|---|
| 证线线垂直 | 寻找直角三角形、利用勾股定理、利用线面垂直的定义 | 等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线 |
| 证线面垂直 | 在平面内找两条相交直线与已知直线垂直 | 利用线线垂直转化为线面垂直 |
| 证面面垂直 | 在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面 | 利用线面垂直转化为面面垂直 |
在三棱柱 ABC-A&sub1;B&sub1;C&sub1; 中，AB = AC，A&sub1;A ⊥ 底面 ABC。求证：A&sub1;A ⊥ BC。
证明：
因为 A&sub1;A ⊥ 底面 ABC，
所以 A&sub1;A ⊥ 底面 ABC 内的所有直线。
因为 BC ⊂ 底面 ABC，
所以 A&sub1;A ⊥ BC。□
（注：本题直接利用了线面垂直的定义——直线垂直于平面，则垂直于平面内的所有直线。）
在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面 ABCD。求证：平面 PAC ⊥ 平面 PBD。
证明：
设 AC 与 BD 交于点 O（正方形对角线交点）。
因为 PA ⊥ 底面 ABCD，BD ⊂ 底面 ABCD，
所以 PA ⊥ BD。
又因为 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥ BD。
而 PA ∩ AC = A，PA 和 AC 都在平面 PAC 内，
由线面垂直判定定理，得 BD ⊥ 平面 PAC。
因为 BD ⊂ 平面 PBD，
由面面垂直判定定理，得 平面 PAC ⊥ 平面 PBD。□
在正方体 ABCD-A&sub1;B&sub1;C&sub1;D&sub1; 中，E 为 BB&sub1; 的中点。求证：A&sub1;E ⊥ 平面 ABC&sub1;D&sub1;。
证明：
设正方体棱长为 a。以 A 为原点建立空间直角坐标系。
则 A(0,0,0)，A&sub1;(0,0,a)，B(a,0,0)，C&sub1;(a,a,a)，D&sub1;(0,a,a)，E(a,0,a/2)。
向量 A&sub1;E⃗ = (a, 0, -a/2)。
平面 ABC&sub1;D&sub1; 内的两条相交直线的方向向量：
AB⃗ = (a, 0, 0)，AD&sub1;⃗ = (0, a, a)。
检验垂直：A&sub1;E⃗ · AB⃗ = a² + 0 + 0 = a² ≠ 0
（上述方法有误，需要重新选取合适的平面内直线。）
实际上，在正方体 ABCD-A&sub1;B&sub1;C&sub1;D&sub1; 中，E 为 BB&sub1; 中点时，A&sub1;E 不一定垂直于平面 ABC&sub1;D&sub1;。此题需要更精确的条件设定。
以下给出一个经典结论：在正方体中，A&sub1;C ⊥ 平面 AB&sub1;D&sub1;（对角线垂直于由三个相邻面的对角线构成的平面）。证明留给读者作为练习。
本章知识总结
- 基本立体图形：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球七大类，理解其生成过程和结构特征
- 斜二测画法："横不变，纵减半，夹角四十五"，面积比为 √2/4
- 表面积与体积：七大几何体的公式必须熟练掌握，注意柱锥台之间的统一关系
- 四大公理与三个推论：是立体几何推理的基石，确定平面的条件（不共线三点、一直线和线外一点、两相交直线、两平行直线）
- 空间位置关系：直线间（平行/相交/异面）、线面间（在内/平行/相交）、面面间（平行/相交）
- 平行关系：线面平行的判定（找平面内平行线）和性质（作辅助平面取交线），面面平行的判定（两条相交直线）和性质
- 垂直关系：线面垂直判定（两条相交直线）、性质（垂直同平面的线平行）；面面垂直判定（含垂线的平面）和性质（垂直交线则垂直另一平面）
- 二面角：用平面角度量，关键是在棱上找点作两条垂线；直二面角对应两平面垂直
- 证明策略：平行关系和垂直关系可以相互转化——"线线 ↔ 线面 ↔ 面面"是证明的核心思路