必修二 · 第七章

复数

复数扩展了数的概念，是解决某些代数问题的必要工具

7.1 数系的扩充和复数的概念

数系扩充历程

数的概念是随着人类社会的发展而不断扩充的。每一次数系的扩充，都是为了解决在原有数系中无法解决的运算问题。从自然数开始，数系经历了以下扩展过程：

N 自然数集

N = {0, 1, 2, 3, ...}

用于计数，满足加法和乘法封闭。

问题：3 - 5 = ? 在自然数中无解

Z 整数集

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

引入负数，解决了减法封闭问题。

问题：3 ÷ 5 = ? 在整数中无解

Q 有理数集

Q = {p/q | p, q∈Z, q≠0}

引入分数，解决了除法封闭问题。

问题：x² = 2 在有理数中无解

R 实数集

R（包含有理数和无理数）

引入无理数，填满数轴上所有点。

问题：x² = -1 在实数中无解

关键问题：负数能不能开平方？

在实数范围内，负数不能开平方，因为任何实数的平方都是非负数。为了使方程 x² = -1 有解，数学家引入了一个新的数——虚数单位 i，从而将数系扩充到复数集 C。

C 复数集 — 数系扩充的终点

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

复数集是高中阶段数系扩充的最终形态。在复数集内，加、减、乘、除（除数不为零）四则运算都是封闭的，这就是著名的代数基本定理的体现：任何一元 n 次方程在复数集中恰好有 n 个根（重根按重数计算）。

虚数单位与复数的定义

虚数单位 i

规定虚数单位 i 满足：i² = -1。

实数可以与 i 进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

复数的代数形式

形如 z = a + bi（其中 a, b∈R）的数称为复数。

复数的分类

根据实部和虚部是否为零，复数可以进行如下分类：

分类 复数 z = a + bi 的分类体系
分类条件说明举例
实数b = 0虚部为零3, -1, 0, π
虚数b ≠ 0虚部不为零1+i, 3-2i
纯虚数a = 0 且 b ≠ 0实部为零且虚部不为零i, -3i, 2i

核心 判断复数类型时，首先要将复数化为标准形式 z = a + bi，再根据 a 和 b 的取值判断。

易错提醒

纯虚数要求 a = 0 且 b ≠ 0，两个条件缺一不可。例如 z = 0 + 0i = 0 是实数而不是纯虚数。另外，虚数不一定是纯虚数，例如 1 + i 是虚数但不是纯虚数。

复数相等

复数相等的充要条件

两个复数 a + bi 与 c + di（其中 a, b, c, d∈R）相等的充要条件是：

复数相等
a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d

即实部等于实部，虚部等于虚部。利用这个条件可以将复数问题转化为实数问题来求解。

例题 1：利用复数相等求参数

已知复数 z = (2m - 1) + (m + 3)i，其中 m∈R。当 z 为实数、虚数、纯虚数时，分别求 m 的值。

解：z = (2m - 1) + (m + 3)i，实部 a = 2m - 1，虚部 b = m + 3。

（1）z 为实数时，b = 0，即 m + 3 = 0，解得 m = -3。

（2）z 为虚数时，b ≠ 0，即 m + 3 ≠ 0，解得 m ≠ -3。

（3）z 为纯虚数时，a = 0 且 b ≠ 0，即 2m - 1 = 0 且 m + 3 ≠ 0，解得 m = 1/2。

例题 2：复数相等求未知数

已知 (x + y) + (2x - 3y)i = 5 + i，其中 x, y∈R，求 x, y 的值。

解：由复数相等的条件：

• 实部相等：x + y = 5 ... ①

• 虚部相等：2x - 3y = 1 ... ②

由①得 x = 5 - y，代入②：2(5 - y) - 3y = 1，即 10 - 2y - 3y = 1，解得 y = 9/5。

代回①：x = 5 - 9/5 = 16/5。

因此 x = 16/5，y = 9/5。

7.2 复数的几何意义

复平面

复平面（高斯平面）

建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面。

对应关系 复数与点的一一对应

复数 z = a + bi 与复平面内的点 Z(a, b) 是一一对应的关系：

复数与点
z = a + bi ↔ Z(a, b)

每一个复数对应复平面内唯一的一个点，每一个点也对应唯一的一个复数。这是复数几何意义的基础。

复数与向量的对应

向量表示 复数与向量的对应

复数 z = a + bi 还可以与复平面内以原点 O 为起点、以 Z(a, b) 为终点的向量 OZ⃗ 一一对应：

复数与向量
z = a + bi ↔ OZ⃗ = (a, b)

这种对应使得复数的加法、减法可以利用向量的平行四边形法则和三角形法则来直观理解。

几何直觉

两个复数相加，对应向量的加法（平行四边形法则）；两个复数相减，对应从减数指向被减数的向量。这种几何直观在解决涉及复数模的问题时非常有用。

复数的模

复数的模（绝对值）

复数 z = a + bi 在复平面内对应点 Z(a, b) 到原点 O 的距离称为复数 z 的模（或绝对值），记作 |z|：

复数的模
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
性质 模的常用性质

共轭复数

共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

复数 z = a + bi 的共轭复数记为 z̄ = a - bi。

几何意义 共轭复数的对称性

在复平面内，复数 z 和它的共轭复数 z̄ 对应的点关于实轴对称。

如果 z 对应的点为 Z(a, b)，那么 z̄ 对应的点为 Z'(a, -b)。

运算性质 共轭复数的运算
例题 3：复数的模与共轭

已知 z = 3 - 4i，求 |z|，z̄，以及 z · z̄。

解：

（1）|z| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

（2）z̄ = 3 + 4i（实部不变，虚部取相反数）

（3）z · z̄ = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|²

7.3 复数的四则运算

加法与减法

复数的加法与减法

设 z&sub1; = a + bi，z&sub2; = c + di（a, b, c, d∈R），则：

加法
z&sub1; + z&sub2; = (a + c) + (b + d)i
减法
z&sub1; - z&sub2; = (a - c) + (b - d)i

运算规则：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。

几何意义 加减法的向量表示

乘法

复数的乘法

设 z&sub1; = a + bi，z&sub2; = c + di，则：

乘法公式
z&sub1; · z&sub2; = (ac - bd) + (ad + bc)i

运算方法：按多项式乘法展开，利用 i² = -1 化简，合并实部和虚部。

乘法记忆技巧

可以类比多项式乘法：先按分配律展开 (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²，然后将 i² 替换为 -1，得 (ac - bd) + (ad + bc)i。

除法

复数的除法

设 z&sub1; = a + bi，z&sub2; = c + di（z&sub2; ≠ 0），则：

除法公式
z&sub1; / z&sub2; = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc - ad) / (c² + d²) · i

运算方法：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，将分母实数化。

方法 除法运算步骤
  1. 写出分式的分子和分母
  2. 找出分母的共轭复数（实部不变，虚部取相反数）
  3. 分子分母同乘分母的共轭复数
  4. 分母变为 z&sub2; · z̄&sub2; = |z&sub2;|² = c² + d²（实数）
  5. 分子展开后，分离实部和虚部，化简

i 的幂次规律

虚数单位 i 的幂次循环

i 的正整数次幂呈现以 4 为周期的循环规律：

i 的幂次
i1 = i，i2 = -1，i3 = -i，i4 = 1

一般地，in 的值取决于 n 除以 4 的余数：余 1 得 i，余 2 得 -1，余 3 得 -i，余 0 得 1。

即 in = in mod 4。

推论 连续四个幂次之和

对于任意整数 k ≥ 0：

循环求和
ik + ik+1 + ik+2 + ik+3 = 0

这个性质在求和问题中经常用到。

运算律

运算律 复数运算的基本性质

复数的运算满足以下运算律（其中 z&sub1;, z&sub2;, z&sub3; 为任意复数）：

例题 4：复数的加减乘运算

已知 z&sub1; = 1 + 2i，z&sub2; = 3 - i，求 z&sub1; + z&sub2;，z&sub1; - z&sub2;，z&sub1; · z&sub2;。

解：

z&sub1; + z&sub2; = (1 + 2i) + (3 - i) = (1+3) + (2-1)i = 4 + i

z&sub1; - z&sub2; = (1 + 2i) - (3 - i) = (1-3) + (2+1)i = -2 + 3i

z&sub1; · z&sub2; = (1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i² = 3 + 5i - 2(-1) = 5 + 5i

例题 5：复数的除法

计算 (1 + 2i) / (3 - 4i)。

解：分子分母同乘分母的共轭复数 3 + 4i：

(1 + 2i)(3 + 4i) / [(3 - 4i)(3 + 4i)]

= (3 + 4i + 6i + 8i²) / (9 + 16)

= (3 + 10i - 8) / 25

= (-5 + 10i) / 25

= -1/5 + 2/5 i

例题 6：i 的幂次求和

计算 i + i² + i³ + i&sup4; + ... + i100 的值。

解：因为 i 的幂次以 4 为周期，每连续 4 个幂次之和为 0：

i + i² + i³ + i&sup4; = i + (-1) + (-i) + 1 = 0

从 i 到 i100 共 100 项，恰好为 25 组，每组之和为 0。

因此原式 = 0。

例题 7：利用模的性质

已知 z = (1 + i)³ / (1 - i)²，求 |z|。

解：利用模的性质 |z&sub1;/z&sub2;| = |z&sub1;|/|z&sub2;| 和 |z³| = |z|³：

|1 + i| = √(1 + 1) = √2

|1 - i| = √(1 + 1) = √2

|z| = |1 + i|³ / |1 - i|² = (√2)³ / (√2)² = 2√2 / 2 = √2

7.4 复数的三角表示（选学）

三角形式

复数的三角形式

复数 z = a + bi 可以用三角形式表示为：

三角形式
z = r(cosθ + i·sinθ)

其中：

选学内容说明

复数的三角表示在高中阶段属于选学内容，但在高等数学、物理学（如交流电路分析、信号处理）中有广泛应用。了解三角形式有助于更深刻地理解复数乘除法的几何意义。

三角形式的乘法与除法

三角形式下的乘法

设 z&sub1; = r&sub1;(cosθ&sub1; + i·sinθ&sub1;)，z&sub2; = r&sub2;(cosθ&sub2; + i·sinθ&sub2;)，则：

三角形式乘法
z&sub1; · z&sub2; = r&sub1;r&sub2;[cos(θ&sub1; + θ&sub2;) + i·sin(θ&sub1; + θ&sub2;)]

几何意义：复数相乘，模相乘，辐角相加。即乘法的效果是"伸缩"和"旋转"的组合。

三角形式下的除法
三角形式除法
z&sub1; / z&sub2; = (r&sub1;/r&sub2;)[cos(θ&sub1; - θ&sub2;) + i·sin(θ&sub1; - θ&sub2;)]

几何意义：复数相除，模相除，辐角相减。

棣莫弗公式

棣莫弗公式（De Moivre's Formula）

对任意复数的三角形式和正整数 n：

棣莫弗公式
[r(cosθ + i·sinθ)]n = rn(cos nθ + i·sin nθ)

这个公式将复数的乘方运算转化为简单的模的乘方和辐角的倍乘，是三角形式乘法的直接推论。

例题 8：三角形式的乘法

已知 z&sub1; = 2(cos 30° + i·sin 30°)，z&sub2; = 3(cos 45° + i·sin 45°)，求 z&sub1; · z&sub2;。

解：由三角形式乘法规则：

z&sub1; · z&sub2; = 2 × 3 × [cos(30° + 45°) + i·sin(30° + 45°)]

= 6(cos 75° + i·sin 75°)

即模为 6，辐角为 75°。

例题 9：棣莫弗公式应用

计算 (1 + i)8。

解：先将 1 + i 化为三角形式：

|1 + i| = √2，arg(1 + i) = 45°

1 + i = √2(cos 45° + i·sin 45°)

由棣莫弗公式：

(1 + i)8 = (√2)8(cos 8×45° + i·sin 8×45°)

= 16(cos 360° + i·sin 360°)

= 16(1 + 0i) = 16

本章知识总结