3.1 函数的概念
函数的定义
设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域。
函数的三要素
定义域
自变量 x 的取值范围，是函数的基础。求定义域时需考虑：
- 分式中分母不为零
- 偶次根号下非负
- 对数中真数大于零，底数大于零且不等于1
- 零次幂中底数不为零
- 实际问题中变量的实际意义
对应关系
连接定义域和值域的桥梁，决定了函数的具体形式。同一个对应关系可以有不同的表达方式（解析法、列表法、图像法）。
值域
函数值 f(x) 的集合，由定义域和对应关系共同确定。求值域的常用方法包括配方法、换元法、单调性法、判别式法等。
函数相等的条件
两个函数当且仅当它们的定义域相同且对应关系相同时，才认为是同一个函数。值域可以不同表示但必须实质相同。
例题 1：求函数的定义域
求函数 f(x) = √(x - 1) + 1/(x - 3) 的定义域。
解：
由题意需同时满足：
- 偶次根号下非负：x - 1 ≥ 0，即 x ≥ 1
- 分母不为零：x - 3 ≠ 0，即 x ≠ 3
取交集得定义域为 [1, 3) ∪ (3, +∞)
3.2 函数的表示方法
解析法
用数学表达式（解析式）表示两个变量之间的函数关系。
优点：关系明确，便于计算和推导。
例：f(x) = 2x + 1，g(x) = x² - 3
列表法
用表格列出变量之间的对应关系。
优点：直接查表得到函数值，直观明了。
例：平方表、三角函数表等。
图像法
用图形表示函数关系。
优点：直观反映函数的变化趋势和性质。
注意：需满足垂直性检验（任一 x 对应唯一 y）。
分段函数
在定义域的不同部分，用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数，不是几个函数。
其中 D₁, D₂, ..., Dₙ 两两不相交，且 D₁ ∪ D₂ ∪ ... ∪ Dₙ = 定义域。
例题 2：分段函数求值
已知分段函数：
求 f(-2)、f(0)、f(3) 的值。
解：
- f(-2)：因为 -2 < 0，用 f(x) = x² + 1，所以 f(-2) = (-2)² + 1 = 5
- f(0)：因为 0 ≥ 0，用 f(x) = 2x - 1，所以 f(0) = 2×0 - 1 = -1
- f(3)：因为 3 ≥ 0，用 f(x) = 2x - 1，所以 f(3) = 2×3 - 1 = 5
3.3 函数的单调性
增函数
设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x₁, x₂：
那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数，区间 D 叫做 f(x) 的单调递增区间。
减函数
设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x₁, x₂：
那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数，区间 D 叫做 f(x) 的单调递减区间。
判断函数单调性的方法
定义法（作差法）
步骤：
- 设 x₁, x₂ ∈ D 且 x₁ < x₂
- 计算 f(x₁) - f(x₂)
- 判断差的正负
- 若 f(x₁) - f(x₂) < 0，则递增；若 > 0，则递减
图像法
通过观察函数图像的上升或下降趋势来判断：
- 图像从左到右上升 → 增函数
- 图像从左到右下降 → 减函数
复合函数法
复合函数 y = f(g(x)) 的单调性遵循"同增异减"原则：
- 内外函数同增 → 复合函数递增
- 内外函数同减 → 复合函数递增
- 内外函数一增一减 → 复合函数递减
例题 3：用定义法证明单调性
证明函数 f(x) = x² 在区间 (0, +∞) 上是增函数。
证明：
设 x₁, x₂ ∈ (0, +∞)，且 x₁ < x₂。
则 f(x₁) - f(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂)
因为 x₁, x₂ ∈ (0, +∞)，所以 x₁ + x₂ > 0
因为 x₁ < x₂，所以 x₁ - x₂ < 0
所以 (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂)
因此 f(x) = x² 在 (0, +∞) 上是增函数。
常用函数的单调性
| 函数 | 单调递增区间 | 单调递减区间 |
|---|---|---|
| y = kx + b (k ≠ 0) | k > 0 时：(-∞, +∞) | k < 0 时：(-∞, +∞) |
| y = x² | [0, +∞) | (-∞, 0] |
| y = 1/x | (-∞, 0) 和 (0, +∞) 各自递减（注意不能合并） | |
| y = √x | [0, +∞) | 无 |
| y = |x| | [0, +∞) | (-∞, 0] |
3.4 函数的最值
最大值
设函数 y = f(x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
- 对于任意的 x ∈ I，都有 f(x) ≤ M
- 存在 x₀ ∈ I，使得 f(x₀) = M
那么称 M 是函数 y = f(x) 的最大值。
最小值
设函数 y = f(x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
- 对于任意的 x ∈ I，都有 f(x) ≥ M
- 存在 x₀ ∈ I，使得 f(x₀) = M
那么称 M 是函数 y = f(x) 的最小值。
求函数最值的常用方法
配方法
将二次函数化为顶点式 y = a(x - h)² + k，当 a > 0 时，最小值为 k；当 a < 0 时，最大值为 k。需注意定义域的限制。
换元法
通过设新变量简化函数表达式，再求最值。常用三角换元或整体换元。换元后需注意新变量的取值范围。
利用单调性
在闭区间 [a, b] 上，增函数的最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；减函数则相反。若区间内有极值点需单独讨论。
均值不等式
对于 a, b > 0，有 (a + b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a = b 时取等号。可用于求形如 x + k/x 型函数的最值。
例题 4：求二次函数的最值
求函数 f(x) = x² - 4x + 5 在区间 [0, 3] 上的最大值和最小值。
解：
f(x) = x² - 4x + 5 = (x - 2)² + 1
对称轴为 x = 2，在定义域 [0, 3] 内
因为 a = 1 > 0，所以开口向上，顶点为最小值点
- f(2) = (2-2)² + 1 = 1（最小值）
- f(0) = 0 - 0 + 5 = 5
- f(3) = 9 - 12 + 5 = 2
所以在 [0, 3] 上，最大值为 f(0) = 5，最小值为 f(2) = 1。
3.5 函数的奇偶性
偶函数
设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于任意 x ∈ D，都有 -x ∈ D，且：
那么称 f(x) 为偶函数。
几何特征：图像关于 y 轴对称。
奇函数
设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于任意 x ∈ D，都有 -x ∈ D，且：
那么称 f(x) 为奇函数。
几何特征：图像关于原点对称。
判断函数奇偶性的步骤
- 第一步：检查定义域是否关于原点对称。若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
- 第二步：计算 f(-x)，将其与 f(x) 比较。
- 第三步：若 f(-x) = f(x)，则为偶函数；若 f(-x) = -f(x)，则为奇函数；否则为非奇非偶函数。
奇偶性的重要性质
- 奇函数若在 x = 0 处有定义，则 f(0) = 0
- 偶函数在对称区间上的最值：最大值和最小值在对称点处取得
- 偶函数的单调性在对称区间上相反（关于 y 轴对称）
- 两个奇函数的和（差）是奇函数，积（商）是偶函数
- 两个偶函数的和（差）、积（商）都是偶函数
奇偶性对比表
| 特征 | 奇函数 | 偶函数 |
|---|---|---|
| 定义 | f(-x) = -f(x) | f(-x) = f(x) |
| 图像对称性 | 关于原点对称 | 关于 y 轴对称 |
| 定义域要求 | 关于原点对称 | 关于原点对称 |
| f(0) 的值 | 若 0 在定义域内，则 f(0) = 0 | 不确定 |
| 典型例子 | y = x, y = x³, y = sin x, y = 1/x | y = x², y = |x|, y = cos x |
例题 5：判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) = x⁴ + x² (2) f(x) = x³ + x (3) f(x) = x + 1
解：
(1) f(x) = x⁴ + x²
定义域为 R，关于原点对称。
f(-x) = (-x)⁴ + (-x)² = x⁴ + x² = f(x)
所以 f(x) 是偶函数。
(2) f(x) = x³ + x
定义域为 R，关于原点对称。
f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = -(x³ + x) = -f(x)
所以 f(x) 是奇函数。
(3) f(x) = x + 1
定义域为 R，关于原点对称。
f(-x) = -x + 1
f(-x) ≠ f(x) 且 f(-x) ≠ -f(x)
所以 f(x) 是非奇非偶函数。
3.6 幂函数
幂函数的定义
一般地，形如 y = xᵅ（α 为常数）的函数称为幂函数。其中 x 是自变量，α 是常数指数。
常见的五种幂函数
| 函数 | 表达式 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x | α = 1 | R | R | 奇函数 | R 上递增 |
| y = x² | α = 2 | R | [0, +∞) | 偶函数 | (-∞, 0] 递减，[0, +∞) 递增 |
| y = x³ | α = 3 | R | R | 奇函数 | R 上递增 |
| y = x^(1/2) | α = 1/2 | [0, +∞) | [0, +∞) | 非奇非偶 | [0, +∞) 递增 |
| y = x⁻¹ | α = -1 | (-∞,0) ∪ (0,+∞) | (-∞,0) ∪ (0,+∞) | 奇函数 | 两个区间各自递减 |
幂函数的共同特征
- 所有幂函数都经过点 (1, 1)
- 当 α > 0 时，幂函数在 (0, +∞) 上单调递增，且都过原点 (0, 0)
- 当 α < 0 时，幂函数在 (0, +∞) 上单调递减，且以 x 轴和 y 轴为渐近线
- 当 α 为奇数时，幂函数是奇函数；当 α 为偶数时，幂函数是偶函数
幂函数图像位置关系
在第一象限内（x > 0, y > 0）：
- 当 α > 1 时，图像在 y = x 下方（0 < x < 1）和上方（x > 1）
- 当 0 < α < 1 时，图像在 y = x 上方（0 < x < 1）和下方（x > 1）
- 当 α < 0 时，图像在第一象限内单调递减
例题 6：比较幂函数值的大小
比较下列各组数的大小：
(1) 2^0.5 和 3^0.5 (2) 2^(-1) 和 3^(-1) (3) 0.2^0.3 和 0.3^0.3
解：
(1) 考察 y = x^0.5，这是幂函数且 α = 0.5 > 0
在 (0, +∞) 上递增，因为 2 < 3，所以 2^0.5 < 3^0.5
(2) 考察 y = x^(-1)，这是幂函数且 α = -1 < 0
在 (0, +∞) 上递减，因为 2 < 3，所以 2^(-1) > 3^(-1)，即 1/2 > 1/3
(3) 考察 y = x^0.3，这是幂函数且 α = 0.3 > 0
在 (0, +∞) 上递增，因为 0.2 < 0.3，所以 0.2^0.3 < 0.3^0.3
例题 7：函数性质综合应用
已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时，f(x) = x² - 2x。求当 x < 0 时 f(x) 的表达式。
解：
设 x < 0，则 -x > 0
因为当 x > 0 时，f(x) = x² - 2x
所以 f(-x) = (-x)² - 2(-x) = x² + 2x
因为 f(x) 是奇函数，所以 f(x) = -f(-x)
因此当 x < 0 时，f(x) = -(x² + 2x) = -x² - 2x
本章总结
核心概念
- 核心 函数的三要素：定义域、对应关系、值域
- 核心 单调性是函数的局部性质，需在某个区间上讨论
- 核心 奇偶性是函数的整体性质，需在关于原点对称的定义域上讨论
- 重要 分段函数是一个函数，求值时需判断自变量所在区间
方法与技巧
- 技巧 判断单调性首选定义法，作差后因式分解
- 技巧 判断奇偶性先验定义域对称性，再计算 f(-x)
- 技巧 求最值优先考虑配方法和单调性法
- 重要 奇函数在原点有定义时必有 f(0) = 0