14.1 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。排在第一位的数称为首项 $a_1$，第 $n$ 项记为 $a_n$。
数列可以看作定义域为正整数集 $\mathbb{N}^*$（或其有限子集 $\{1,2,...,n\}$）的函数。
如果数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项 $a_n$ 与 $n$ 之间的关系可以用一个公式 $a_n = f(n)$ 来表示，则称此公式为数列的通项公式。
如果已知数列 $\{a_n\}$ 的首项（或前几项），且任一项 $a_n$ 与它的前一项 $a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的递推公式。
例如：$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$（$n \geq 1$）
设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，则：
注意：求 $a_n$ 时必须先验证 $n=1$ 时是否与 $n \geq 2$ 的公式一致。若不一致，需分段表示。
数列的分类
| 分类标准 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| 按项数 | 有穷数列 | 项数有限 |
| 无穷数列 | 项数无限 | |
| 按增减性 | 递增数列 | $a_{n+1} > a_n$ 对所有 $n$ 成立 |
| 递减数列 | $a_{n+1} < a_n$ 对所有 $n$ 成立 | |
| 常数列 | $a_{n+1} = a_n$ 对所有 $n$ 成立 | |
| 摆动数列 | 有时递增有时递减 |
14.2 等差数列
如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 $d$，则称此数列为等差数列，常数 $d$ 叫做公差。
即：$a_{n+1} - a_n = d$（$d$ 为常数，$n \geq 1$）
等差数列的通项公式是关于 $n$ 的一次函数：$a_n = dn + (a_1 - d)$
即 $a_n = pn + q$ 的形式，其中 $p = d$，$q = a_1 - d$
$S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（$d \neq 0$时）：$S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$
即 $S_n = An^2 + Bn$（无常数项）
若 $a$、$b$、$c$ 成等差数列，则 $b$ 叫做 $a$ 与 $c$ 的等差中项：
等差数列的重要性质
性质1（下标和相等）：若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$
特别地，$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \cdots$
性质2（等距分段和）：$S_n$、$S_{2n} - S_n$、$S_{3n} - S_{2n}$ 成等差数列
性质3（奇偶项和）：
- 若项数为 $2n-1$（奇数项），则 $S_{奇} - S_{偶} = a_n$（中间项），$\frac{S_{奇}}{S_{偶}} = \frac{n}{n-1}$
- 若项数为 $2n$（偶数项），则 $S_{偶} - S_{奇} = nd$，$\frac{S_{奇}}{S_{偶}} = \frac{a_n}{a_{n+1}}$
等差数列的判断方法
$a_{n+1} - a_n = d$（常数）对所有 $n$ 成立
$2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$ 对所有 $n$ 成立
$a_n = pn + q$（一次函数形式）
14.3 等比数列
如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 $q$（$q \neq 0$），则称此数列为等比数列，常数 $q$ 叫做公比。
即：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$（$q \neq 0$，$n \geq 1$），且各项均不为零。
等比数列的通项公式是指数函数形式（$q > 0$ 且 $q \neq 1$ 时）。
注意：使用公式前必须先判断 $q$ 是否为 $1$！
若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列（同号），则 $b$ 叫做 $a$ 与 $c$ 的等比中项：
等比数列的重要性质
性质1（下标和相等）：若 $m + n = p + q$，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$
特别地，$a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = a_3 \cdot a_{n-2} = \cdots$
性质2（等距分段和）：$S_n$、$S_{2n} - S_n$、$S_{3n} - S_{2n}$ 成等比数列（$q \neq -1$ 时）
性质3：等比数列的前 $n$ 项和公式 $S_n = \frac{a_1}{1-q} - \frac{a_1}{1-q} \cdot q^n$，形式为 $S_n = A - Aq^n$（$q \neq 1$）
等比数列的判断方法
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$（常数，$q \neq 0$）
$a_{n+1}^2 = a_n \cdot a_{n+2}$（各项非零）
$a_n = c \cdot q^n$（指数形式）
等差数列与等比数列对比
| 对比项 | 等差数列 | 等比数列 |
|---|---|---|
| 定义 | $a_{n+1} - a_n = d$ | $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$（$q \neq 0$） |
| 通项公式 | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 q^{n-1}$ |
| 前 $n$ 项和 | $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ | $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$） |
| 中项 | $2b = a + c$ | $b^2 = ac$ |
| 下标和性质 | $a_m + a_n = a_p + a_q$ | $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$ |
| 通项形式 | 一次函数 $pn+q$ | 指数形式 $c \cdot q^n$ |
| 前 $n$ 项和形式 | 二次函数 $An^2+Bn$ | $A - Aq^n$ |
14.4 数列求和方法
方法一：公式法
适用于通项为等差数列或等比数列，或可直接套用公式的数列。
- 等差：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
- 等比：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$）
- 常用公式：$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$，$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
方法二：分组求和
当通项 $a_n$ 可拆分为 $a_n = b_n + c_n$，其中 $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 分别为等差或等比数列时：
方法三：裂项相消法
常见裂项公式：
求和原理：$S_n = (b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + \cdots + (b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{n+1}$
方法四：错位相减法
当通项 $a_n = b_n \cdot c_n$，其中 $\{b_n\}$ 为等差数列，$\{c_n\}$ 为等比数列时：
步骤：
- 写出 $S_n = b_1 c_1 + b_2 c_2 + \cdots + b_n c_n$
- 两边乘以公比 $q$：$qS_n = b_1 c_2 + b_2 c_3 + \cdots + b_n c_{n+1}$
- 相减：$(1-q)S_n = b_1 c_1 + (c_2 - c_1)b_1 + (c_3 - c_2)b_2 + \cdots - b_n c_{n+1}$
- 化简求 $S_n$
方法五：倒序相加法
当 $a_k + a_{n+1-k}$ 为常数时适用。典型应用：等差数列求和、二项式系数求和。
步骤：写出 $S_n$，再倒序写出 $S_n$，两式相加。
方法六：累加法与累乘法
适用于 $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 型递推关系：
$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$
适用于 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$ 型递推关系：
$a_n = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k} = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$
14.5 数列的综合应用
递推数列求通项
对于递推关系 $a_{n+1} = pa_n + q$（$p \neq 1$），可令 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$
解得 $\lambda = \frac{q}{p-1}$，则 $\{a_n + \lambda\}$ 是以 $a_1 + \lambda$ 为首项、$p$ 为公比的等比数列。
对于递推关系 $a_{n+1} = a_n + f(n)$，可用累加法：$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$
数列与不等式
常用放缩技巧：
- $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$（$n \geq 2$）
- $\frac{1}{n^2} > \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
- $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$
典型例题
已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 7$，$a_7 = 19$，求 $a_1$、$d$ 和 $S_{10}$。
解：
$a_3 = a_1 + 2d = 7 \quad ①$
$a_7 = a_1 + 6d = 19 \quad ②$
② - ① 得 $4d = 12$，$d = 3$
代入①：$a_1 = 7 - 2 \times 3 = 1$
$S_{10} = 10 \times 1 + \frac{10 \times 9}{2} \times 3 = 10 + 135 = 145$
已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，求公比 $q$ 和前 $6$ 项和 $S_6$。
解：
$a_4 = a_1 q^3 = 2q^3 = 16$
$q^3 = 8$，$q = 2$
$S_6 = \frac{a_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{2(1-2^6)}{1-2} = \frac{2 \times (-63)}{-1} = 126$
求数列 $\left\{\frac{1}{n(n+1)}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
解：
$a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$
$= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
求数列 $\{n \cdot 2^n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
解：
$S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n \quad ①$
$2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1} \quad ②$
① - ② 得：$-S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$
$-S_n = \frac{2(1-2^n)}{1-2} - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}$
$-S_n = (1-n) \cdot 2^{n+1} - 2$
$S_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2$
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 3$，求通项公式 $a_n$。
解：
设 $a_{n+1} + \lambda = 2(a_n + \lambda)$，展开得 $a_{n+1} = 2a_n + \lambda$
与已知条件比较得 $\lambda = 3$
所以 $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$
令 $b_n = a_n + 3$，则 $b_{n+1} = 2b_n$，$\{b_n\}$ 是以 $b_1 = a_1 + 3 = 4$ 为首项、$2$ 为公比的等比数列
$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$
$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$
已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n = 3n^2 + 2n$，求通项公式 $a_n$。
解：
当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = 3 \times 1^2 + 2 \times 1 = 5$
当 $n \geq 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - [3(n-1)^2 + 2(n-1)]$
$= 3n^2 + 2n - 3n^2 + 6n - 3 - 2n + 2 = 6n - 1$
验证 $n = 1$：$6 \times 1 - 1 = 5 = a_1$，一致。
故 $a_n = 6n - 1$（$n \geq 1$）。
求数列 $\{2^n + n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
解：
$S_n = \sum_{k=1}^{n}(2^k + k) = \sum_{k=1}^{n} 2^k + \sum_{k=1}^{n} k$
$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(1-2^n)}{1-2} = 2^{n+1} - 2$
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = 2^{n+1} - 2 + \frac{n(n+1)}{2}$
本章要点总结
- 等差数列：$a_{n+1} - a_n = d$，$a_n = a_1 + (n-1)d$，$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
- 等比数列：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$，$a_n = a_1 q^{n-1}$，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$）
- $a_n$ 与 $S_n$：$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \geq 2$），注意验证 $n=1$
- 求和方法：公式法、分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加
- 求通项方法：累加法、累乘法、构造等比/等差数列法
- 注意事项：等比求和先判断 $q$ 是否为 $1$；等差数列下标和性质；数列不等式放缩技巧
- 高频考点：错位相减求和、构造法求通项、数列与不等式综合